Többismeretlenes egyenletrendszerek esetében mikor nem lehet egyenleteket egymáshoz adni, vagy egymásból kivonni?

Az egyenletednek végtelen sok megoldása van, ezért jelentkezik a probléma. Azaz a feladatkíirás határozatlan, feltéve, hogy a,b,c ismeretlenek.

Ha valamelyik paraméter, akkor azt jelezni kéne. De ilyen formában a megoldások elsőfokú lineáris függvénykapcsolatokkal adhatók meg.

A lineáris fv.-nek végtelen sok pontja van, amiről te azt hitted, h. megoldás, csak egyetlen pontja az egyenesnek!

Mivel szépen végigszámoltad, és azt kaptad, hogy

b=-2,5*c , a=1,5*c, ebből szépen kitűnik, hogy az egyenletrendszernek csak akkor van megoldása, hogyha

a:b:c=(1,5c):(-2,5c):1=1,5:(-2,5):1 arány, vagy még szebben

=3:(-5):2 arány teljesül az ismeretlenek értékei között. Az első, hasraütésszerű megoldásnál ez az arány nem teljesül, ezért nem lesz jó megoldás.

Egyébként, ha két kifejezést összeadsz, akkor nem csak akkor lesz összegük 0, ha mindkettő 0, hanem akkor is, ha az egyik értéke ellentéte a másiknak; ha behelyettesítesz, akkor a felsőre 1-et, az alsóra -1-et kapsz, így összegük tényleg 0 lesz. Persze ebből tökéletesen következik, hogy ha egy (esetünkben) számhármas kielégíti az egyenletet, akkor az egyenletrendszert nem feltétlenül (ez csak fordítva igaz; ha az egyenletrendszert kielégíti a számhármas, akkor az összeggel nyertet is; ezért kell ellenőrizni).

Egyébként az effajta összevonás akkor éri meg, hogyha kiesnek ismeretlenek az egyenletből; ha az első egyenletet -4-gyel, a másodikat 5-tel szorozzuk, akkor

8b+20c=0 }

5a-5b-20c=0 }, ekkor összegük

5a+3b=0, amiből aztán lehet tovább számolni.

Fontos megjegyezni, hogy (lineáris) egyenletrendszernek csak akkor van egyértelmű megoldása, hogyha legfeljebb annyi ismeretlene van, mint egyenlete (esetünkben ez nem teljesül, mivel 2 egyenlet és 3 ismeretlen van), és az egyenletek függetlenek egymástól (tehát nincs olyan 0-tól különböző valós szám, hogy ha azzal beszorozzuk az egyenletet, akkor egy másikat kapjunk, például az

x+y=2 }

3x+3y=6 }

egyenletrendszernek nem lesz megoldása, mivel az első egyenletet 3-mal szorozva 3x+3y=6 egyenletet kapjuk, ami ugyanaz, mint a második (ennek minden x;y számpár eleget tesz)). Ha ez nem áll fenn, akkor az ismeretlenek között csak arányt tudunk támasztani (esetünkben ez a:b:c=3:(-5):2).

Az összeadásos és kiejtéses módszerrel ne is foglalkozz, már én is megbántam annó. Itt a legegyszerűbb, a számítógép logikája!

Ha két ismeretlen szerepel benne, akkor így néz ki és a követlezőképpen oldjuk meg:

(1) ax + by = c

(2) dx + ey = f

Először az x-et kifejezzük az egyikből.

ax + by = c I -by

ax = c - by I :a

x = (c-by)/a

Most a másik egyenletrendszerbe helyettesítünk, úgy, hogy az x ki van fejezve.

d((c-by)/a) + ey = f

(dc - dby)/a + ey = f I *a

dc - dby + aey = af I -dc

-dby + aey = af - dc

y(ae - db) = af - dc I :(...)

y = (af - dc)/(ae - db)

Innen vissza az x-hez, és a megoldóképletek a következők:

x = (c - b((af - dc)/(ae - db)))/a

y = (af - dc)/(ae - db)