Valószínűségszámítás? (2 feladat)

Kezdjük a 2. feladattal, lévén az könnyebb.

12 különböző pár cipő van ugyebár. Célszerű a feladatnak úgy nekiállni, hogy kiszámoljuk, hányféleképpen tudunk úgy kiválasztani, hogy NE legyen összeillő pár, és ezt kivonjuk az össze esetből. 12 pár cipőből hányféleképpen tudunk úgy kiválasztani 12-t, hogy ne legyen összeillő pár? Nyilván csak egyféleképpen, ha a sorrendet nem nézzük (és most ne nézzük). Ugyanígy, hányféleképp tudunk kiválasztani 12 cipőt a 24 darabból, sorrendet megint nem nézve? (24 alatt a 12) féleképpen, ami... elég sok :D

24! / (12! * 12!) = 2704156 (Nem írom le végig, ha biztosra akarsz menni, számold ki magad)

Tehát A 2704156 féle esetből 2704155 módon választhatsz ki összeillő párt, a valószínűség pedig (2704155/2704156)=0,99999997. Szinte biztos, hogy lesz összeillő pár. :D

Az 1-es feladat egy icipicit komplikáltabb, itt nem konkrét szám az eredmény, hanem egy n-től függő valami.

Szóval, az 1-es feladatot nehezíti, hogy n-től függ az eredmény, és egy kerek asztalnál ülnek, tehát igazából az ülések elforgatásával ugyanazt az eredményt kapjuk.

Szerintem a legjobb megoldás az, ha fejben felszámozzuk az üléseket, 1-től n-ig. Mondjuk azt, hogy A n darab különböző helyen lehet, mindkét esetben lehet B tőle balra, vagy tőle jobbra. Ez 2*n. Fixáljuk le A és B helyét, és nézzük, C és D hányféleképpen ülhet így le. Üljön mondjuk A és B az n. és n-1. helyen (mivel az ülésrendek egybeforgathatóak, mindegy, hova ültetjük őket. Ekkor C ülhet az 1-től n-3-ig terjedő helyeken, ha D a jobbjára ül, és 2-től N-2. helyig, ha D a bal oldalára ül. Ez 2*(n-3) hely. A fennmaradó n-4 helyre pedig akármilyen sorrendben leültethetjük a többi vendéget, ez (n-4)!. Tehát 2*n * 2*(n-3) * (n-4)!. Csakhogy, az egybeforgathatóságot még nem számoltuk, ha elcsúsztatjuk eggyel mindenkinek a helyét pl, akkor az ülésrend igazából ugyanaz marad. n darab széket n-szer lehet elforgatni, ímg ugyanoda ér vissza, tehát ezt az egészet leosztjuk még n-el: (2n*2(n-3)*(n-4)!)/n.

Egyszerűsítsük kicsit ezt a képletet, osszunk le pl n-el:

(2*2(n-3)*(n-4)!) = 4*(n-3)!

(ugye (n-3)*(n-4)! = (n-3)!)

Nézzük most az összes esetet, az igen egyszerű, n! módon foglalhatnak helyet az emberek, és újfent n-el leosztunk az elforgatás miatt: n!/n= (n-1)!

A valószínűség tehát: 4*(n-3)! / (n-1)! = 4/(n-2)*(n-1).

Ellenőrzésként nézzük meg n=4 esetre:

4/ (4-2)*(4-1) = 4/6 = 2/3.

ugye a sorrend lehet:

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB

(A helyét lefixáltuk, hogy az elforgatásokkal ne kelljen bajlódnunk, úgy vesszük, hogy mindig A helyétől számozzuk az üléseket)

Látszik, hogy 6 sorrend írható fel, ebből 4 darab jó számunkra, 4/6=2/3.