Mi az a határérték számítás?

A legegyszerűbben mindig az 1/x függvényen szokták ezt demonstrálni; vegyük az 1/x függvényt az [1;végtelen) intervallumon. Mindenki tudja, hogy 1-ben 1 az értéke, 2-ben 1/2, és így tovább, a függvény képét mindenki ismeri. A lényeg: minél nagyobb számot írunk x helyére, annál kisebb lesz a függvény értéke, viszont értelemszerűen negatív nem lehet, és 0 sem. Azt viszont látjuk, hogy minél nagyobb számot írunk x helyére, annál közelebb kerül a függvény értéke a 0-hoz. Ezért azt mondjuk, hogy ha x a végtelenbe tart, akkor a határértéke 0, ami pontosan azt jelenti, hogy a függvényérték "végtelen közel" kerül a 0-hoz.

A "lássuk be" azt jelenti, hogy "bizonyítsd be".

Bonyolultabb függvényeknél nem ennyire egyszerű, de ha írsz példát, azon egyszerűbb elmagyarázni.

Egyszer, valakinek így próbáltam elmagyarázni:

https://www.youtube.com/watch?v=GbUWxxi3rz4

Ennél azt szokták csinálni, hogy a számlálóból és a nevezőből is kiemelnek n^2-et:

n^2*(2-5/n)/(n^2(3+1/n^2)), itt egyszerűsítünk n^2-tel:

(2-5/n)/(3+1/n^2)

Az előbb tárgyaltuk, hogyha a sorozatunk 1/n alakú, akkor a végtelenben vett határértéke 0. Emiatt 5/n és 1/n^2 is 0-hoz tart, így ezt kapjuk:

(2-0)/(3+0)=2/3

Tehát a sorozat végtelenben vett határértéke 2/3.

Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás. Ezt szerezd be, majd abból megtanulod.

Röviden összefoglalva: Határértéke lehet sorozatoknak, meg függvényeknek (esetleg más különleges leképezéseknek, de ezt most hagyjuk).

Nem tudom, hogy melyiken mutatták meg nektek a határértéket, de végülis sokat nem befolyásol. (Sőt analógiák is találhatók, erre az ún. átviteli-elv vonatkozik, de most ezt is hagyjuk).

Legyen adva egy a(n) sorozat, ahol n=1,2,... egész szám.

Például a(n)=n^2, ez azt jelenti, hogy a tagok úgy néznek ki hogy: 1,4,9,16,... vagyis a négyzetszámok.

Nagy n-ek esetén a tagok is nagyok lesznek. A sorozatnak nincs felső korlátja, azt mondjuk hogy: ha n-tart a végtelenbe, akkor a(n) is.

Másik példa: a(n)=sin(n). Akármilyen n-et írunk be, egy oszcilláló eredményt fogunk kapni, hol pluszba, hol minuszba. Lesz alsó és felső korlát is, ezek -1 és +1, ezek közt vannak a sorozat tagjai. Viszont ezek között bármi lehet, ilyenkor azt mondjuk, hogy nincs határértéke a sorozatnak.

Harmadik példa: a(n)={1+1/n}^n. Próbáld meg beütni a számológépedbe, mi történik ha:

n=10

n=100

n=1000

n=10000...

Az eredmény soha nem lesz végtelen. Mindig lesz egy felső korlát. Ennek a határértéke 2.718...=e.

Szakaszonként folytonos fv.-ekre hasonlóan működik a dolog. Az alapvető különbség, hogy ott gyakran nem csak a végtelenben lehet érdekes a határérték, hanem pl. a szakadási helyeken is. Sorozatoknál a határértéket pedig szinte mindig a végtelenben nézzük.

Ennyi elég lesz bevezetésnek, aztán majd megtanulod a többit a könyvből, amit ajánlottam. Könyvtárba biztos van, vagy valahonnan talán még le is tudod tölteni...