Matek háziban kérném a segítségetek. Az 1;2;3;4;5 számjegyekből hány olyan 4 jegyűszámot lehet képezni, ami osztható 12-vel, ha A:minden számjegy csak egyszer szerepelhet? B:egy számjegy többször is szerepelhet?

Először le kell szögezni, milyen szám osztható 12-vel. 12=3*4, tehát olyan számokat keresünk, amik oszthatóak 3-al és 4-el is. Mindkettőt egyszerű ellenőrizni, 3-al az a szám osztható, ahol a számjegyek összege 3-al osztható, 4-el azok, ahol az utolsó két számjegy is osztható 4-el.

A: Nézzük először, mely számokat felhasználva kapunk 3-al osztható számokat (ugye ugyanazokat a számjegyeket akárhogy cserélgetjük, a számjegyek összege nem fog változni). 1+2+3+4=10, nem osztható 3-al. viszont a 1+2+4+5=12 osztható 3-al. Csak ez a négy lesz jó egyébként, most ne menjünk ebbe bele részletesebben :D

A 3-al oszthatóság megvan, a 4-el oszthatóságot kell még elintézni. Az utolsó két számjegy akor osztható néggyel, ha úgy végződik, hogy __12, __24, __52. Ez 3 eset, mindegyik esetben a maradék 2 szám 2!=2 féle képpen alakulhat, tehát ez lesz 2*3=6 eset.

B: A játékszabályok picit változnak, mostmár bármelyik számot akárhányszor felhasználhatjuk. Célszerűbb lesz most a 4-el való oszthatósággal kezdeni, asszondja hogy:

__12, __24, __32, __44, __52 végződésű számok lesznek 4-el oszthatóak. Ezekre külön-külön nézzük meg a 3-al oszthatóság mikor teljesül.

__12: 1+2=3, tehát a másik két szám összegének is 3-al oszthatónak kell lennie: 1+2, 1+5, 2+1, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1. Ez 7 eset.

__24: 2+4=6, ez is 3-al osztható, ugyanez a 7 eset lesz itt is.

__32: 3+2=5, 1 hiányzik a 3-al való oszthatósághoz: 1+3, 2+2, 2+5, 3+1, 3+4, 4+3, 5+2, 5+5. Ez 8 eset.

__44: 4+4=8, itt is 1 hiányzik a 3-al oszthatósághoz, ugyanez a 8 eset.

__52: 5+2=7, itt pedig 2 hiányzik a 3-al oszthatósághoz, itt ezek lesznek: 1+1, 1+4, 2+3, 3+2, 3+5, 4+1, 4+4, 5+3. Ez is 8 eset.

Tehát összesen 7+7+8+8+8= 38 eset van.

Egy szám akkor osztható 12-vel, hogyha osztható 3-mal és 4-gyel is.

Egy szám akkor osztható 3-mal, hogyha számjegyeinek összege osztható 3-mal; tehát az 5 számból úgy kell 4-et összeválogatni, hogy összegük osztható legyen 3-mal:

1+2+3+4=10, ez nem jó

1+2+3+5=11, ez sem

1+2+4+5=12, ezzel már lehet kezdeni

1+3+4+5=13, ez sem jó

2+3+4+5=14, szintén nem

Tehát akkor kapunk 3-mal osztható számot, hogyha az 1;2;3;5 számjegyeket választjuk ki.

Egy szám akkor osztható 4-gyel, hogyha az utolsó két számjegyéből alkotott (kétjegyű) szám osztható 4-gyel. Esetünkben ez akkor valósul meg, hogyha az utolsó két helyre 12, 24, vagy 52 kerül, a maradék két számot meg oda írjuk, ahova tudjuk:

4512

5412

1524

5124

1452

4152

Több megoldás nincs, vagyis 6 szám képezhető a megadott feltételek alapján.

Ha többször lehet felhasználni a számokat, úgy már bonyolultabb a kérdés.