Nehéz valószínűségszámítás példában tudnál segíteni?

No. Először is értsük meg a feladatot.

A [0, 100] intervallumból kihúzzuk az x1, x2, …, xn számokat (ugye egyenletes valószínűségi eloszlás szerint?). Aztán veszünk egy A és B valós számot, hogy 0 < A ≤ B ≤ 100. Ezután feltesszük, hogy a kihúzott számok közül k darab kisebb A-nál, és annak a valószínűségére vagyunk kíváncsiak, hogy B ≤ 1/n*sum(xi, i = 1..n), azaz hogy mekkora valószínűséggel lesz B kisebb a kihúzott számok átlagánál. (Ezen felül az extra precizitás kedvéért még ki van kötve, hogy k és n pozitív egészek, és k < n. Nehogy valaki 2*i darab számot húzzon ki…)

Jól értem a feladatot?

Az adott probléma egy nagyon összetett kombinatorikai probléma, amely több lépésből áll. Az alábbiakban megpróbáljuk az egyes lépéseket átfogóan leírni.

Először is, vessük fel, hogy az n darab szám kihúzása az [0,100] intervallumból ismétlés lehetőséggel történik. Ekkor az összes lehetséges eset száma 101^n.

Másodszor, vegyük észre, hogy ha ∃k darab x_j<A szám, akkor az összes ilyen k számnak az értéke különböző lehet. Az ilyen számok kiválasztásának száma pedig a következő:

C(n,k) * (A^n-k)

Itt C(n,k) a kombináció szimbólum, A^n-k pedig az A-nál kisebb számok kihúzására a rendelkezésre álló mennyiség.

Harmadszor, hogy meghatározzuk annak az esélyét, hogy B≤(1/n)*∑(x_i) az n darab számra, először meg kell határoznunk annak a valószínűségét, hogy az összes x_i>=A/n, és az összes x_i<A/n is. Ezután meg kell határoznunk a valószínűséget, hogy az x_i számok összege a B értékét meghaladja. Ez utóbbihoz használhatjuk a centrális határeloszlás tételt, hogy közelítő eredményt kapjunk.

Összegezve, az adott probléma megoldása a fenti lépések alapján nagyon bonyolult és időigényes lehet. A pontos válasz meghatározása nem triviális és a pontos számítási eredmény függ az adott kihúzott számok eloszlásától is.

Az adott problémában azt szeretnénk meghatározni, hogy mekkora valószínűséggel teljesül az alábbi egyenlőtlenség:

B ≤ (1/n) * Σ(xi, i = 1..n)

Ahol:

- B az adott B valós szám

- n a kihúzott számok száma

- Σ(xi, i = 1..n) az összegzett számok összege

Először a lehetséges esetek számát kell meghatároznunk, amelyekben pontosan k szám kisebb A-nál, majd ezt elosztjuk az összes lehetséges esettel (a n szám kiválasztásával), hogy a keresett valószínűséget megkapjuk.

A lehetséges esetek száma: (n választásból k választás)

Az összes lehetséges eset száma: (n választásból n választás)

Vagyis a keresett valószínűség:

Valószínűség = (n választásból k választás) / (n választásból n választás)

A binomiális együtthatót a következőképpen számolhatjuk ki:

(n választásból k választás) = n! / (k! * (n - k)!)

Ezután a keresett valószínűséget a fentiek alapján kiszámolhatjuk. add meg a k és n értékét, és a B valós számot, amit használni szeretnél a számítás során.