Egy ellipszis nagytengelye a=2, kerülete k=6, mekkora a kistengelye?

Erre a szokásos, középiskolában tanult elemi függvényekkel nincsen zárt képlet.

[link]

[link]

Esetleg Ramanujan képletét megpróbálhatod megoldani b-re.

Pl. iterációval és numerikus integrálással tudod kinyerni a megoldás közelítését. Az ellipszis kerületfüggvényében ulyen gammafüggvények lesznek, ha jól emlékszek, ami csak megfelelő módszerekkel kezelhető.

Vagy ha elég egy durva becslés, akkor a kör képlet mintájára lehet konstruálni egy közelítő formulát. A körnél k=2*r*pi.

Ellipszisnél r helyébe tegyük a és b átlagát, ekkor:

k=0.5*(a+b)*pi, amiből a kistengely:

b=(2*k/pi)-a=12/3.14-2

Ez kicsit 2 alatt van, talán 1.8 körül.

Tehát igazából a nagytengely 2 és a kistengely 1.8.

A félnyagytengely ekkor 1, a félkistengely 0.9.

Végezzünk becslő ellenőrzést. Számítsuk ki két kör, egy fél kistengely és egy fél nagytengely sugarú kör kerületét:

1. K1=1.8*pi=1.8*3=5.4

2. K2=2*pi=6.28.

Látható, hogy a megadott kerület ezen kettő közé esik, tehát a kistengelyre az 1.8 nem olyan rossz becslés.

Itt találsz néhány közelítő képletet:

[link]

Ezekkel az adatokkal a feladatnak vagy nincs megoldása vagy értelmezési probléma van.

Ha 'a' az ellipszis fél nagytengelye, akkor a kerülete K > 4a kell legyen, mivel a hosszabbik átmérő (2a) feletti és alatti rész is hosszabb az átmérőnél (2a).

> „Ha 'a' az ellipszis FÉL nagytengelye,…”

Vesd össze:

„Egy ellipszis nagytengelye a=2,…”

Az ellipszis nagytengelye 2a hosszúságú az ellipszisnél használt jelölések szerint.

A fél nagytengelyt jelöljük 'a'-val.

Teljesen mindegy, ki mit mivel jelöl. Lehetne x meg y is vagy éppen alfa meg béta.

Ha szövegesen leírják, hogy melyik betű mit jelent, akkor az a mérvadó.

Egyébként láttam már olyan könyvet, ahol a fél nagytengelyt R-el, a fél kistengelyt r-el jelölték.

Vagyis nincs egységes jelölésmód.

Második válaszoló vagyok. Nyílván jók ezek a képletek, de egy megjegyzést hozzáteszek.

A feladatkiírás akkor értelmes és korrekt, ha megadod azt, hogy milyen pontossággal kéred a végeredményt. Igazából így van értelme, ha egy adott epszilon hibahatáron kell belűl maradni. Namost ha ez pl. 1%, akkor az én közelítésem is tökéletes.

A másik dolog, hogy nem érdemes kiírni 88 db tizedesjegyet, hiszen lehet, hogy pl. csak az első 4 vagy 5 ami pontos. Ennek pedig az az oka hogy az általad használt közelítő formulák is hibahatárhoz kötöttek. Viszont ez már egy numerikus analízis feladat...