Matematikaaaa. Mi az egyenlet, amiből ki tudok indulni? Hogyan jövök rá az egyenletre? Aztán hogy folytatom?

Fel kell írni egy R sugarú gömbbe írható körhenger felszínének képletét (két alapkör és a palást területe). Ebben szerepel a gömb sugara (R), az alapkör sugara (r) és a henger magassága (a). Ezek között nyilván összefüggés áll fenn, mivel a hengert a gömbbe írtuk. Ez az összefüggés éppen a Pitagorasz-tétel alapján írható fel (rajzold fel a keresztmetszeti képet):

R^2 = r^2 + (a/2)^2

Vagyis az a és r paraméterek közül csak az egyik független, tehát lehet ez alapján maximalizálni a felületfüggvényt. Nem tudom, hogy tudsz-e már deriválni, de a felületfüggvény ezen paraméter szerinti deriválásának nullával egyenlővé tételével kapsz egy egenletet, amelynek megoldása adja a maximális felszínű henger adott paraméterét.

Én nem a-t és r-t használtam, hanem r helyett R*cos(alfa)-t, a/2 helyett pedig R*sin(alfa)-t írtam, ahol alfa az a szög, amely alatt a henger fél magassága a gömb középpontjából látszik. Így csak az alfa paraméter marad, és a trigonometrikus függvényeket egyszerűbb deriválni, mint a gyököseket.

Ekkor az alfa szerinti deriválás után egy egyszerű egyenlet marad alfára, amelynek végén

tg(2*alfa) = 2 adódik, amelyből alfa már kiszámítható, és alfa=31,72 fok adódik kb.

Ez így persze ronda numerikusan. Ha r szerint deriválsz, akkor lehet, hogy olyan egyenlet jön ki, ahonnan pontos algebrai kifejezést kapsz r-re.

Nagyon örülök az előző válaszoló megoldásának, én a másik úton jutottam el ide.

Megakadtam az utolsó mondaton:

"Ez így persze ronda numerikusan. Ha r szerint deriválsz, akkor lehet, hogy olyan egyenlet jön ki, ahonnan pontos algebrai kifejezést kapsz r-re."

A válaszoló szíves engedelmével tovább lépnék az általa megkezdett úton, és megmutatom, hogy a végén ott van a hiányolt pontos algebrai kifejezés. :-)

A kapott eredmény:

tg(2α) = 2

A kétszeres szög összefüggése szerint

2tgα/(1 - tg²α) = 2

Egyszerűsítés, rendezés után lesz

tg²α + tgα - 1 = 0

Ezt tgα-ra megoldva az adódik, hogy

tgα = (√5 - 1)/2

tgα = φ (Az egyenlet másik gyöke esetünkben nem megoldás)

vagyis azt a meglepő, szép megoldást kaptuk, hogy a henger magasságának és átmérőjének hányadosa az aranymetszés arányszámával (φ) egyenlő!!!

a/2r = φ

======

Őszintén mondom meglepett, hogy egy ilyen feladat megoldásában az aranymetszésbe botlottam! :-)

Ezek ismeretében a pontos megoldás

A henger sugara:

r = R/√(1 + φ²)

===========

a magassága:

h = 2rφ

h = 2Rφ/√(1 + φ²)

=============

Az aranymetszés felhasználásával a feladat szerkesztéssel is egyszerűen megoldható, de ez már egy másik feladat.:-)

DeeDee

**********

Azért is örömmel írtam a folytatást, mert kiderült, a te módszered rövidebb, gyorsabb, így számomra értékesebb.

A teljesség kedvéért a henger felszíne az

F = 2R²π/φ

vagy

F = 2R²π(1 + φ)

képlettel számítható.

DeeDee

**********