Matekban tudnátok segíteni?

Azt kell megérteni, hogy egy hatvány maradékát úgy is megkapod, hogyha az előtte lévő hatvány 9-es maradékát szorzod az alappal, és annak nézed a 9-es maradékát. Lehet, hogy ez így kicsit értelmetlenül hangzik, de mindjárt meglátod:

2003^0=1, ennek a 9-es maradéka 1

2003^1=2003, ennek a 9-es maradéka 5

2003^2=4.012.009, ennek a 9-es maradéka 7. Viszont ezt így is ki tudtuk volna számolni:

2003^2 maradéka megegyezik 2003^1 maradéka*2003 maradékával: =5*2003=10.015, ennek a 9-es maradéka 7.

Ugyanígy kell a többit is végignézni:

2003^3 9-es maradéka megegyezik 7*2003 9-es maradékával; =14.021, ennek a 9-es maradéka 8.

2003^4 9-es maradéka megegyezik 8*2003 9-es maradékával; =16.024, ennek a 9-es maradéka 4.

2003^5 9-es maradéka megegyezik 4*2003 9-es maradékával; =8.012, ennek a 9-es maradéka 2.

2003^6 9-es maradéka megegyezik 2*2003 9-es maradékával; =4006, ennek a 8-es maradéka 1

És itt meg is állhatunk, mert ha folytatjuk ezt a metódust, akkor a következő maradéka 5 lesz, aztán 7, és így tovább, mígnem újra visszajutunk az 1 maradékhoz, és minden kezdődik elölről és újra és újra... Erre azt mondjuk, hogy a maradékok periodikusan váltakoznak. Azt is meg tudjuk állapítani, hogyha a kitevő:

-0, 6, 12, 18, ..., vagyis 6*k alakú (k természetes szám), akkor 2003^(6k) 9-es maradéka 1

-1, 7, 13, 19, ..., vagyis 6*k+1 alakú, akkor 2003^(6k+1) 9-es maradéka 5.

-2, 8, 14, 20, ..., vagyis 6*k+2 alakú, akkor 2003^(6k+2) 9-es maradéka 7.

-3, 9, 15, 21, ..., vagyis 6*k+3 alakú, akkor 2003^(6k+3) 9-es maradéka 8.

-4, 10, 16, 22, ..., vagyis 6*k+4 alakú, akkor 2003^(6k+4) 9-es maradéka 4

-5, 11, 17, 23, ..., vagyis 6*k+5 alakú, akkor 2003^(6k+5) 9-es maradéka 2

Már csak azt kell megnézni, hogy a 2004 milyen alakú szám; 2004=6*334, vagyis 6k alakú, így a fentiek miatt 2003^2004 szám 9-es maradéka 1.