Bizonyítsuk be, hogy ha 3 szám összegének reciprok értéke egyenlő a reciprok értékek összegével, akkor van köztük 2 szám, amelyek összege 0! Hogyan?

Vedd fel ismeretlennek az a,b és c valós számokat és kösd ki, hogy egyik sem lehet zérus, továbbá az összegük sem lehet zérus. Ekkor 1/(a + b + c) = 1/a + 1/b + 1/c egyenletet old meg c-re.

a^2·b + a^2·c + a·b^2 + 2·a·b·c + a·c^2 + b^2·c + b·c^2=0

azaz (a+b)(c+a)(c+b)=0

Ekkor 3 eset lehet:

1. eset a+b=0, azaz a megoldás (a,-a,c)

2.eset c=-a, azaz a megoldás (a,b,-a)

3. eset c=-b, azaz a megoldás (a,b,-b)

Mindhárom eset olyan, hogy van köztük 2 szám, amelyek összege 0! Sz. Gy.