Egy jármű sebessége egyenletes fékezéssel s úton az eredeti sebességének harmadrészére csökken. Mekkora utat tesz meg még a jármű a leállásig, ha továbbra is ugyanígy fékez? (s/8)

Van egy kezdősebesség: v0

Van egy pillanatnyi sebesség, amit a feladat első felében elér: v1 = v0 / 3

És van egy végsebesség, amit megálláskor ér el: v2 = 0

Ezeken kívül az egyenes vonalú egyeneletesen változó mozgás útjának kiszámításához egy időre (t) és egy gyorsulásra (a) van szükségünk.

s = v0 * t + a/2 * t^2

Nézzük a feladat első részét:

v0 kezdősebesség

t idő

a = delta(v1) / t = (v1 - v0) / t = (v0/3 - v0) / t = -2/3 * v0 / t

Ezt helyettesítsük be a képeltbe:

s = v0 * t + a/2 * t^2 = v0 * t + (-2/3 * v0 / t) / 2 * t^2 =

= v0 * t - v0 * t / 3 = 2/3 * v0 * t

Most nézzük meg a második részét a feladatnak:

v1 kezdősebesség

t2 idő

a = -2/3 * v0 / t

(ugyanaz a gyorsulás!)

Itt is felírhatjuk a gyorsulásra a képletet:

a = delta(v2) / t2 = (v2 - v1) / t2 = (0 - v0/3) / t2 = -1/3 * v0 / t2

Ez ugye megegyezik az első részben felírt gyorsulással:

-1/3 * v0 / t2 = -2/3 * v0 / t

Azaz: t2 = t / 2 = 1/2 * t

Írjuk fel s2-t:

s2 = v1 * t2 + a/2 * t2^2

Behelyettesítés:

s2 = 1/3 * v0 * 1/2 * t + 1/2 * (-2/3 * v0 / t) * (1/2 * t)^2 =

= 1/2 * 1/3 * v0 * t - 1/3 * v0 * t * 1/4 = 1/6 * v0 * t - 1/12 * v0 * t = 1/12 * v0 * t

Tehát:

s = 2/3 * v0 * t

s2 = 1/12 * v0 * t

Azaz: s2 = s / 8

s1 = a/2 * ( (3t)^2 - t^2 )

s2 = a/2 * t^2

s2 / s1 = ? ; (1/8)