Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege pontosan kétszerese a nála eggyel nagyobb háromjegyű pozitív egész szám számjegyei összegének?

Nem nehéz kitalálni, hogy "általában" az 1-gyel nagyobb szám számjegyeinek összege pontosan 1-gyel nagyobb, mivel az utolsó számjegy változik csak 1-gyel. Ez az "általában" csak akkor van így, hogyha az utolsó számjegy nem 9-es; ha 9-es, akkor a tízes helyiértéken álló számjegy 1-gyel nő, a 9-ből pedig 0 lesz. Tehát nekünk azokra a 3-jyegyű számokra kell koncentrálnunk, ahol az utolsó számjegy a 9-es, vagyis az (ab9) alakúakkal. Ebben a számjegyek összege a+b+9, az ennél 1-gyel nagyobb szám számjegyeinek összege a+(b+1)+0=a+b+1, a feltétel szerint ennek kétszerese egyenlő a+b+9-cel:

a+b+9=2*(a+b+1) /zárójelbontás

a+b+9=2a+2b+2 /-2; -a; -b

7=a+b, vagyis azt kaptuk, hogy ha az első két számjegy összege 7, akkor jó számot kapunk. Erre ezeket a megoldásokat kapjuk:

a értéke nem lehet 0, mivel akkor nem 3-jegyű a szám:

a=1 -> b=6, vagyis 169

a=2 -> b=5, vagyis 259

a=3 -> b=4, vagyis 349

a=4 -> b=3, vagyis 439

a=5 -> b=2, vagyis 529

a=6 -> b=1, vagyis 619

a=7 -> b=0, vagyis 709

Tehát 7 számot találtunk.

Még egy esetet nézzünk meg a rend kedvéért; mi van akkor, ha (a99) alakú a szám? Ekkor a számjegyek összege a+9+9=a+18, az 1-gyel nagyobb számjegyeinek összege (a+1)+0+0=a+1, ennek a kétszerese egyenlő a+18-cal:

a+18=2*(a+1)

a+18=2a+2

16=a, viszont a egyjegyű szám, tehát ez nem lehet megoldás.

+1 lehetőség lehet, ha mindhárom 9-es: 999, ebben a számjegyek összege 27, a +1=1000-ben pedig 1+0+0+0=1. Tehát az sem lehet.

Ezzel megtaláltuk az összes "jó" számot, és belőlük 7 van.