Matekházi, egy kis segítség jól jönne. Hogyan?

Ha jól értelmezem akkor a háromszög területe kell.

a*m/2

A háromszög területére van egy olyan képlet, hogy: két oldal és az általuk bezárt szög szinuszának szorzata, osztva kettővel.

A megadott adatokból egy lépésben kiszámítható, és pontos eredményt ad, míg ha a fenti képlettel számolsz akkor legalább három számolás és csak kerekített értéket kapsz.

Jaj, gyerekek, miért traktáljátok képletekkel.

Nem kell ide egy képlet se! Józan paraszti ész kell!

Vágjuk szét az egyenlőszárú háromszöget a szimmetriavonala mentén! Mit kapunk? Két derékszögű háromszöget.

Rakjuk őket egymás mellé! Most mit kapunk?

Téglalapot!

Téglalap területe=egyik oldal x másik oldal.

Jó, már csak azt kéne kitalálni, mennyi a két oldal, ezt leolvassuk az ábráról:

Egyik oldal=18*sin(75°). ez a hosszabbik oldal.

Másik oldal=18*cos(75°). nem nehéz kitalálni, hogy ez rövidebb.

Persze más úton is megoldható, de így a legegyszerűbb. Semmi nem kellett hozzá, csak józan paraszti ész.

Na jó, ha akarunk, még alakíthatunk rajta, ugyanis a

terület=18*18*sin(75°)*cos(75°)

Bebízonyítható, hogy sin(a)*cos(a)=0.5*sin(2a).

Vagyis sin(75°)*cos(75°)=0.5*sin(150°)=0.5*sin(30°)=0.25

Vagyis a terület=18*18*0.25=9*9=81.

Vagyis 81 területegység a területe.

Nem tudom, hogy sírjak vagy nevessek...

Nem volt szándékomban hozzászólni, de mikor azt láttam, hogy az utolsó válaszoló a sablonos, favágó megoldást a józan paraszti észre hivatkozva próbálta eladni, nem bírtam tovább.

Tulajdonképpen nem a diákokat, hanem azt az oktatási rendszert hibáztatom, amelyik az ilyen gondolkodást terjeszti.

A középsuliban a matektanárnőnk minden matekóra végén adott egy feladatot, és a következő órán az kapott piros pontot, aki a legegyszerűbb megoldást mutatta be.

A kérdés: egy feladat megoldása után még sohasem merült fel a kérdés, hogy vajon ez a legegyszerűbb, legrövidebb megoldás, vagy esetleg kicsit másként nézve a feladat elemeit, nem lehetséges-e egy másik, jobb, egyszerűbb út a végeredményhez? Az esetek többségében van más út, és ennek a megtalálása adja az igazi sikerélményt. Elhiszem, hogy nehéz a sablonoktól megszabadulni, de meg kell próbálni, hogy örömet találj a matematikában.

Ezek után lássuk a feladatunkat.

Egyenlő szárú háromszög területe, ha ismert a szárak hossza (b), és szárszög (α).

A sablon: a háromszög az alapján áll, a területhez kell az alaphoz tartozó magasság.

Mivel egyik sem ismert, nosza előkapjuk a jó öreg Pitagorászt, a szögfüggvények garmadáját, osztunk szorzunk, barkácsolunk, és a végén kapunk egy eredményt. Phűűű... A homlokunkról letöröljük az izzadtságot és a jól végzett munka örömével dőlünk hátra...

De ha egy kicsit másképp nézzük a háromszöget...

Ha van három oldala, akkor bármelyiket kinevezhetjük alapnak, már csak az ahhoz tartozó magasságot kell összehozni valahogy.

Mivel egyenlő szárú háromszögünk van, sok választás nincs az alap kiválasztására: az alapon (a) kívül csak valamelyik szár jöhet szóba.

Az ABC háromszögünk A pontjából húzzunk egy merőlegest a BC szárra, a metszéspontot nevezzük T-nek.

Ekkor a háromszög alapja a BC szár, a hozzá tartozó magasság az AT szakasz.

Kérdés: milyen hosszú ez a szakasz?

Mivel az ATC egy derékszögű háromszög, melynek átfogója a másik (AC) szár, és a keresett magasság az egyik befogó, az ezzel szemben fekvő szöge a szárszög, ezért a keresett magasság

m = b*sinα

Ezzel minden készen áll a terület számításához: az alap 'b', a hozzá tartozó magasság m = b*sinα, így a terület

T = b*b*sinα/2

T = b²*sinα/2

Mivel

sinα = sin30° =1/2

T = b²/4

======

Mindenféle algebrai bűvészkedés nélkül ennyi a feladat megoldása!

Nem kell sem Pitagorász, sem egy rakás szögfüggvény, sem az 'a' alap hossza, semmi más, csak egy pici gondolkodás, egy más nézőpont.

DeeDee

**********

Kedves utolsó! Beismerem, a te megoldásod valóban trigonometriai átalakítások nélkül vezet egzakt végeredményhez.

Viszont ehhez rá kell jönnie a tisztelt kérdezőnek arra, hogy ne a szimmetriavonal mentén válassza meg a magasságot.

Az általam bemutatott megoldás így jó példa arra az esetre, hogy ha valaki nem sejti meg azt, hogy most melyik magassággal is számoljon, akkor se hátráljon meg, hanem inkább egy picit favágósabb, de helyes gondolatmenetet kövessen.

A kulcsszó, véleményem szerint az, hogy "helyes gondolatmenet".

Legyen az akár sablonos, akár matematikailag "szép".

Mivel előttem nem adtak érdemleges választ, így én is egy ilyen, helyes gondolatmenetet követtem.

Ezek a geometriai feladatok egyébként azért is hasznosak, mert ezeken látszik legjobban az, hogy egy-egy felvetett problémára más-más gondolatmenetek alapján is jó választ adhatunk.

A favágós módszerekhez pedig annyit, hogy igenis, érdemes őket tudni. Hogy miért? Mert vannak elég sokan, akiknek csak bizonyos "trükköket" mutattak meg. Ennek a következménye az, hogy ha van egy picit összetettebb probléma, kétségbeesik az illettő, mert nem jut eszébe semmilyen trükk, sablonos módszert meg nem ismer, így nem tudja megoldani a példát.

Így, véleményem szerint csak hasznos lehet, ha van a tarsolyunkban néhány ilyen sablonos módszer, hiszen azt meglehetősen széleskörűen alkalmazhatjuk, lehet, hogy hosszabb, de biztos megoldást előállítva.

Az én megoldásomhoz még annyit fűznék, hogy ha csak a számszerű eredmény a kérdés (mint ahogy az a mai lebutított érettségikre jellemző) akkor nem kell tudni azt a kétszeres szögekre vonatkozó azonosságot.

Mivel van számológép, beüti a tisztelt kérdező, hogy sin75°*cos75° úgyis kiadja neki, hogy 1/4.

Vagyis probléma megoldva. Ha pedig paraméteresen kérdezik, akkor azon rengeteg idő alatt csak talál valami azonosságot a függvénytáblázatban. (Ha jól tudom, valami 3 vagy 4 óra a vizsgájuk, rengeteg!).

Szóval, aki csak érettségizik, annak elég annyi, hogy beüti a számológépbe ezt. Ha emelt szintű vizsgát tesz, akkor már lesz annyi esze, hogy inkább levezet, bizonyít dolgokat.

Ha meg elmegy egyetemre, akkor meg úgyis bevasalnak rajta mindent, vagy kiszórják.