Egy paralelogramma egyik belső szöge van megadva és az átlók négyzetének az aránya. Mekkora az oldalak aránya? A csúcsokat A, B, C, D-vel jelölöm. Az oldalakat x és y.

x^2+y^2-xy=7

x^2+y^2+xy=19

2xy=12

xy=6

Két koszinusz tétel és egy másodfokú egyenlet kell.

A keresett arány

a/b = 3/2

ill.

a/b = 2/3

Ide figyelj kérdező!

Csaknem egy hete ide se böktél, egyik válaszra sem reagáltál, most meg játszod a sértődöttet.

Enyhén szólva is nagyon nem szép tőled!

A kérdést 26-án írtad ki, a most következő válasz 27-én készült, de ha egy csöppnyi érdeklődést láttam volna, hamarabb közzéteszem.

*******************************

Legyen

e, f - a két átló (e > f)

a, b - a két oldal (a> b)

α = 60° - az oldalak által bezárt szög

n = e²/f² = 19/7 - a két átló négyzetének aránya

Kérdés:

p = a/b = ? - az oldalak hányadosa

A koszinusz tétel a két átlóra

e² = a² + b² + 2ab*cosα

f² = a² + b² - 2ab*cosα

Mindkét egyenlet jobb oldalából ab-t kiemelve

e² = ab(a/b + b/a + 2cosα)

f² = ab(a/b + b/a - 2cosα)

Látható, hogy a zárójelben megjelenik a keresett arány

Az oldalak hányadosát beírva

e² = ab(p + 1/p + 2cosα)

f² = ab(p + 1/p - 2cosα)

A két egyenlete hányadosa

e²/f² = (p + 1/p + 2cosα)/(p + 1/p - 2cosα)

A bal oldal a megadott arány

n = (p + 1/p + 2cosα)/(p + 1/p - 2cosα)

A zárójelekben a törtet eltüntetve

n = (p² + 1 + 2pcosα)/(p² + 1 - 2pcosα)

Ezzel kaptunk egy másodfokú egyenletet, a megoldás csak ízlés kérdése.

Egy lehetséges változat a következő

A jobb oldali törtet eltüntetve

n(p² + 1 - 2pcosα) = p² + 1 + 2pcosα

Zártójelfelbontás, összevonás, nullára rendezés után lesz

0 = p²(n - 1) - 2pcosα*(n + 1) + (n - 1)

(n - 1)-el végigosztva

0 = p² - p*2*cosα*(n + 1)/(n - 1) + 1

Az elsőfokú tag szorzótényezőjét egy konstansba összefogva

Legyen

2*cosα*(n + 1)/(n - 1) = A

így az egyenlet

0 = p² - p*A + 1

A két megoldás

p1,2 = A/2 ± √[(A/2)² - 1]

A gyökök

p1 = 3/2

és

p2 = 2/3

=======

DeeDee

***********