Egy háromszög két oldalának hossza 16 cm és 8cm a harmadik oldalhoz tartozo súlyvonal pedig 9 cm hosszú. Mekkora a háromszög harmadik oldala? Ezt hogy lehet megoldani?

Én először azon gondolkozom, hogyan szerkeszteném meg?

Középpontos tükrözéssel:

[link]

ABA'C egy paralelogramma, ABA' egy ismert háromszög.

BF a keresett oldal fele. Ezt kellene kiszámolni.

( Mivel a kész ábra nagyon hasonlít egy téglalapra, nehogy beugorj - nem az! )

Kell még segítség?

[link]

Itt van egy képlet hozzá a "A háromszögön belül eső szakaszának hosszának kiszámítása a háromszög oldalaiból" címszó alatt. Csak be kell helyettesíteni a számokat és megoldani az egyenletet.

#1 vagyok.

A belinkelt ábrán pontosan az következik: ABA' háromszögben az A'-nél levő szöget számolom most koszinusz-tétellel, azután a BFA' háromszögből szinusz-tétellel megvan a BF.

Ez nem jó neked?

Rendes tőled, hogy megengedsz egy próbát:

[link]

Kíváncsi lennék az órai megoldásra !!!

Koszinusz tétel kell? Legyen!

És ha már lúd, legyen kövér, mindjárt két koszinusz tételt vetünk be. :-)

Az utolsó válasz linkjén látható ábra jelöléseivel

a = 8

b = 16

c = BC szakasz

s = 9

δ - az AFC szög

A súlyvonal két háromszögre osztja az eredeti háromszöget, ezek

AFC és az AFB háromszögek

Az F pont felezi a 'c' oldalt: CF = BF = c/2

Az első koszinusz tétel az 'a' oldalra

a² = s² +(c/2)² - 2s*(c/2)*cosδ

A második koszinusz tétel az 'b' oldalra

b² = s² +(c/2)² - 2s*(c/2)*cos(180 - δ)

Mivel cos(180 - δ) = -cosδ

ezért

b² = s² +(c/2)² + 2s*(c/2)*cosδ

Tehát van két egyenletünk

a² = s² +(c/2)² - 2s*(c/2)*cosδ

b² = s² +(c/2)² + 2s*(c/2)*cosδ

A két egyenletet összeadva

a² + b² = 2s² + 2(c/2)²

Egyszerűsítés és tört eltüntetése után

2(a² + b²) = 4s² + c²

amiből

c² = 2(a² + b²) - 4s²

Ezzel eljutottunk oda, ahova a #2 -es válaszoló javasolta, csak abból a képletből nem derül ki, hogyan született.

Ezt pótolja a fenti kis levezetés.

A kapott összefüggés egyébként a paralelogrammákra érvényes törvény, miszerint az átlók négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével.

Itt a tükrözéssel keletkezett ABA'C paralelogrammáról van szó.

DeeDee

**********