Teljes indukció. Egy kis segítség?

Tegyük fel, hogy ez a képlet igaz n-1-re.

Akkor írd fel, hogy 3*1+3*5+...3*5^(n-1)=3/4(5^n-1)

Tehát, ha 3/4(5^n-1)+3*5^n=3/4(5^(n+1)-1) akkor bizonyítva van. A másik egyszerűbb, remélem így már menni fog.

Öhm. Először megnézzük, hogy igaz n=0-ra, UTÁNA teszünk olyan feltevéseket, hogy igaz n-1 esetén. Ez eleve a teljes indukció lényege, igazoljuk egy konkrét értékre, majd igazoljuk, hogy HA egy adott értékre teljesül, akkora rákövetkezőre is teljesül. Így lehet a teljes N-re iterálni a dolgot.

Egyébként kicsit érdekesen vannak felírva a feladatok, elvileg a teljes természetes számok halmazára kéne igazolni mindkettőt. Csakhogy a második példánál n=0 esetén nem teljesül. Oké, van, hogy N alatt igazából N+ értendő, de az első feladatnál meg az n=0 eset is bele van számolva... ez így kicsit katyvasz :D

Az nem n-1, az 5^(n)-1. Így talán jobban látod.

Igazoljuk, hogy n=0 esetén 3*1=3/4*(5-1)=3

Ezután feltesszük, hogy n-1 esetén igaz, tehát 3*1+3*5+3*5^2+...+3*5^(n-1)=3/4*(5^n -1)

majd megnézzük, hogy ugyanez teljesül-e n esetén:

3*1+3*5+3*5^2+...+3*5^(n-1)+3*5^n=3/4*(5^(n+1)-1)

A baloldal első részét átírhatjuk 3/4*(5^n-1)-re:

3/4*(5^n-1)+3*5^n=3/4*(5^(n+1)-1)

3/4*5^n - 3/4 +3*5^n = 3/4*(5^(n+1)-1)

15/4 *5^n -3/4 = 3/4*(5^(n+1)-1)

3/4*5*5^n -3/4 = 3/4*(5^(n+1)-1)

3/4*(5^(n+1)-1) = 3/4*(5^(n+1)-1)

És igazolva lészen. :)

Ezeket meg lehet oldani teljes indukció nélkül is, ahogy az első mondja. De nyilván azért adtak fel ilyen "egyszerű" példát, hogy azon gyakoroltassák a teljes indukciót.

A teljes indukció az alábbi 3 lépésből áll:

1. Megnézzük, hogy teljesül-e a képlet a legkisebb lehetséges n értékre.

2. Feltesszük, hogy n=k-ra igaz, ez azt jelenti, hogy kiírjuk a képletet n=k-ra. Ezt indukciós feltevésnek hívjuk.

3. Megmutatjuk, hogy n=k+1-ra igaz, ehhez a 2.es pontban felírt képletet is használjuk.

1. feladat:

Megnézzük n=0-ra

3*1 = 3/4 * (5^1-1)

3=3 tehát teljesül.

Tegyük fel, hogy n=k-ra igaz a feltételezés.

Vagyis:

3*1 + 3*5 + 3*5^2 + ... + 3*5^k = 3/4 * (5^(k+1) -1)

Bizonyítsuk be, hogy n=k+1-re is igaz.

3*1 + 3*5 + ... 3*5^k + 3*5^(k+1) = 3/4 * (5^(k+2) -1)

Most kezdjük el addig alakítani a jobb oldalt, míg meg nem kapjuk a balt.

Az első k tagot az indukciós feltevés értelmében átírhatjuk:

3/4 * (5^(k+1) -1) + 3*5^(k+1)

A második tagból 3/4-et kiemelve 3/4 * (4*5^(k+1) lesz

3/4 * (5^(k+1) -1) + 3*5^(k+1) =

= 3/4 * [ 5^(k+1) -1 + 4*5^(k+1)] = 3/4 * [5^(k+2) -1 ]

Mert:

5^(k+1) + 4*5^(k+1) = 5*5^(k+1) = 5^(k+2)

Kész vagyunk.

-------------------

2. feladat

n=0-nak ennél a feladatnál nincs értelme, ezért n=1 a legkisebb n amire érdemes vizsgálni.

1=1^2 Ez tehát igaz.

Tegyük fel ,hogy n=k-ra igaz

1+ 3+ 5+ ... + (2k-1) = k^2

Mutassuk meg, hogy n=k+1-re is igaz

1 + 3+ 5+ ... + (2k-1) + [2*(k+1)-1] = (k+1)^2

Megint csak a bal oldalt alakítjuk.

Az indukciós feltevés miatt az első k tag éppen k^2

k^2 + [2k+1]

Ez pedig éppen k+1 négyzet, ezzel kész is vagyunk.