Zárt alak, elmagyarázná valaki?

A rekurzív alakot kell átírni explicit alakba.

Nézzük meg az első pár tagot:

x1 = 2*x0+4

x2 = 2* x1+4 = 2*(2*x0+4)+4 = 2^2*x0 + 2*4+4

x3 = 2*x2+4 = 2*[2*(2*x0+4)+4] + 4 = 2^3*x0 + 2^2*4+2^1*4+4

Ebből már látszik, hogy az n. tag kiszámolása:

xn = 2^n * x0 + [2^(n-1)*4 + 2^(n-2)*4 + ... + 4]

xn = 2^n * x0 + 4*[2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 1]

A szögletes zárójelben lévő kifejezésre a mértani sorozat összegképletét kell alkalmazni. q=2, a1=1, n-1 tagot kell összegezni.

xn = 2^n * x0 + 4*(2^n -1)

Ez a zárt alakja.

Ellenőrizzük le, számoljuk ki rekurzív képlettel a tagokat:

x0 = 1

x1 = 2*1+4 = 6

x2 = 2*6+4 = 16

x3 = 2*16+4= 36

És a zárt alakkal:

xn = 2^n * x0 + 4*( 2^n -1)

x1 = 2^1 * 1 + 4*(2^1-1) = 2+4=6

x2 = 2^2 * 1 + 4*(2^2-1) = 4+4*3=16

x3 = 2^3 * 1 + 4*(2^3-1) = 8+4*7=36