Egy egyenes csonka kúp felszíne 500 dm2, palástja 300 dm2, alkotója 10 dm. Mekkora a térfogata?

Részletesen kidolgozva:

[link]

Akkor egy fénykép az oldalról:

[link]

Ezekkel az adatokkal így is látható a megoldás.

Mivel a feladatban nem kérdés a sugarak nagysága, ezért most egy olyan szokatlan megoldást mutatok be, ami nem igényli ezek (sugarak) kiszámítását. Látható lesz, hogy a kiinduló adatokból képzett két konstans segítségével megoldható a feladat.

Legyen

F = 500 dm² - a felszín

P - 300 dm² - a palást területe

a = 10 dm - az alkotó hossza

R - az alapkör

r - a fedőkör sugara

α - a fél kúpszög

V = ? - a térfogat

A ismert adatokból adódó információk.

1. Ha ismert a felszín és a palást területe, akkor a különbségük az alap és a fedőkör területének összege, azaz

F - P = π(R² + r²)

2. A másik egy nem nagyon ismert, de sok esetben igen hasznos összefüggés, miszerint a palást vetülete egy R és r sugarú körgyűrű területével egyenlő, azaz

P*sinα = π(R² - r²)

Ez utóbbit egy kicsit alakítgatva

mivel

sinα = (R - r)/a

P*(R - r)/a = π(R² - r²)

A jobb oldal nevezetes szorzatát kibontva

P*(R - r)/a = π(R + r)(R - r)

(R - r)-el egyszerűsítve

P/a = π(R + r)

Így van két egyenletünk

P/a = π(R + r)

F - P = π(R² + r²)

π-vel osztva mindkét egyenletet

P/(aπ) = R + r

(F - P)/π = R² + r²

Ha bevezetjük a következő konstansokat

P/(aπ) = A

(F - P)/π = B

akkor ezekkel a két egyenlet

R + r = A

R² + r² = B

Ha az első egyenletet négyzetre emeljük és kivonjuk belőle a másodikat

R² + 2Rr + r² = A²

R² + r² = B

2Rr = A² - B

Mindkét oldalt 2-vel osztva

Rr = (A² - B)/2

Az

(A² - B)/2 = C

jelölést bevezetve

Rr = C

Ezzel előállt három konstans

P/(aπ) = A = R + r

(F - P)/π = B = R² + r²

(A² - B)/2 = C = Rr

Ezek segítségével a csonka kúp minden hiányzó adata megkapható!

Lássuk a térfogatot

V = mπ(R² + r² + Rr)/3

Látható, hogy a zárójelben levő kifejezések helyettesíthetők a megfelelő konstansokkal, így

V = mπ(B + C)/3

A zárójelben levő két konstanst összevonva lesz

V = mπ(A² + B)/6

Hiányzik még a magasság, ami az ismert alkotóval és a félkúpszöggel kifejezve

m = a*cosα

Először a sinα értékét határozzuk meg

sinα = (R - r)/a

Mindkét oldalt négyzetre emelve

sin²α = (R - r)²/a²

A számlálót kibontva

sin²α = (R² - 2Rr + r²)/a²

A zárójelben megint csak az ismert konstansok jelennek meg, vagyis

sin²α = (B - 2C)/a²

A zárójelben összevonva

sin²α = (2B - A²)/a²

cos²α = 1 - sin²α összefüggésből

cosα = [√(a² - 2B + A²)]/a

ebből

m = a*cosα = √(a² - 2B + A²)

Minden megvan, így a térfogat

V = mπ(A² + B)/6

V = π[√(a² - 2B + A²)](A² + B)/6

=======================

A példa adataival a két konstans pontos értéke

A = P/(aπ)

B = (F - P)/π

Behelyettesítés után

A = 30/π

B = 200/π

Ha valaki hiányolná a sugarak meghatározását, annak két megoldás is kínálkozik

1.)

A = R + r

C = Rr

egyenletrendszerből

2.)

Stratégia: Meghatározzuk a (R - r) értékét, majd a (R + r) = A egyenlettel együtt meghatározható a két sugár

R - r = √(R - r)²

A gyök alatti rész kifejtve, majd a megfelelő konstansokat behelyettesítve kapjuk

R - r = √(2B - A²)

Így az egyenletrendszer

R + r = A

R - r = √(2B - A²)

A két egyenlet összeadásával ill. kivonásával a sugarak:

R1,2 = A/2 ± √[B/2 - (A/2)²]

illetve

R = A/2 + √[B/2 - (A/2)²]

r = A/2 -√[B/2 - (A/2)²]

Még egy megjegyzés a végére: az adatokból látható, hogy a (R - r), (m), (a) adatok a klasszikus 3-4-5 oldalú Pitagorászi háromszög kétszeresei (voltak) és az ezekkel kiszámolt palást és felület értékeket kerekítették egész számra, azért nem lett a magasság és a (R - r) érték kerek szám. :-)

Ha hibát találsz a leírásban, szólj azonnal. Köszi!

DeeDee

**********