Melyik az a legkisebb természetes szám, amelynek 12 osztója van?

60

1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60

Ha egy szám törzstényezős felbontása mondjuk (p^a)·(q^b)·(r^c), ahol p,q,r prímszámok, akkor ennyi szorzója van:

(a+1)(b+1)(c+1)

Na most 12 = 3·4 = (2+1)(3+1) vagy 12 = 3·2·2 = (2+1)(1+1)(1+1). Tehát kétféle számoknál jöhetett ki az osztók száma 12-re:

1) p²·q³

2) p²·q·r

A legkisebb akkor lesz a szám, ha a legnagyobb kitevő a 2-es prím kitevője, a második legnagyobb kitevő a 3 kitevője, stb. Szóval növekvő prímekhez csökkenő (de legalábbis nem növekvő) hatványkitevők tartoznak.

Így ez a két lehetséges szám jön ki:

1) 2³·3² = 72

2) 2²·3·5 = 60

Ebből a 60 a kisebb.