Oldja meg a számokat a valós számok halmazán? Nem értem

Osszunk 2^x-nel és 8-cal:

27/8=(3^x)/(2^x)

A jobb oldal a hatványozás azonosságai alapján átírható:

27/8=(3/2)^x

Próbáljuk meg a bal oldalt átírni 3/2 hatványára. Nem lesz nehéz dolgunk, mivel 27=3^3 és 8=2^3:

(3^3)/(2^3)=(3/2)^3=(3/2)^x

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt akkor lesznek ezek egyenlő, ha a kitevők megegyeznek, vagyis:

3=x.

Ellenőrzés:

Bal oldal: 27*2^3=27*8=216

Jobb oldal: 8*3^3=8*27=216

Egyenlők, tehát a megoldás helyes. És mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért nem történt gyökvesztés, és minden megoldást megtaláltunk.

Köszi a választ. Van egy hasonló feladat, viszont abban már van egy kis trükk, és nem jövök rá, hogy mi az.

Abban is tudnál segíteni, kérlek?

125* 3^x-1 = 3*5^x+1

Előre is köszönöm.

125*3^x-1 = 3*5^x+1

Ha jól sejtem, akkor az x-1 és az x+1 a kitevőben van (legközelebb, ha lehet, használj zárójeleket az egyértelműség kedvéért).

Tudni kell a hatványozás első két azonosságát:

1. Azonos alapú hatványok szorzásánál az alap a kitevők összegére emelhető: a^n*a^m=a^(n+m). Ez persze fordítva is igaz, tehát az 5^(x+1) felírható így: 5^x*5^1=5^x*5

2. Azonos alapú hatványok osztásánál az alapot a számláló kitevőjének és a nevező kitevőjének különbségére emelhetjük: a^n/a^m=a^(n-m) (a nem lehet 0). Ezzel 3^(x-1)=(3^x)/(3^1)=3^x/3. Az egyenlet így módosul:

125*(3^x)/3=3*5*5^x /osztunk 3^x-nel és 15-tel:

125/45=(5^x)/(3^x) /az előző feladatban taglaltak alapján:

125/45=(5/3)^x /a bal oldalon egyszerűsítünk

25/9=(5/3)^x /így már átírható a bal oldal 5/3 hatványára:

(5/3)^2=(5/3)^x, innen x=2.