Valaki elmagyarázná ezt a mértani feladatos azonosságot?

A feladat szerint:

(1-q^2+q^4)*(1+q^2)=1+q^6, innen

(1-q^2+q^4)=(1+q^6)/(1+q^2)

Legyen q^2=k, ekkor

1-k+k^2=(1+k^3)/(1+k)

Osszuk el a jobb oldalt egymással, ehhez a következő meggondolás szükséges: tudjuk, hogy a számláló valameilyen (1+k)^m alakú lenne, akkor osztható lenne 1+k-val. Mivel a számláló harmadfogkú, ezért (1+k)^3-nak kell lennie; (1+k)^3=1+3k+3k^2+k^3, ebből nekünk 1+k^3 van meg. Így adjunk hozzá a számlálóhoz, majd vegyünk is el 3k+3k^2-ent:

=(1+3k+3k^2+k^2-3k-3k^2)/(1+k)

A tanultak alapján ez felbontható két tört összegére:

(1+3k+3k^2+k^2)/(1+k)+(-3k-3k^2)/(1+k)

Az első törtről tudjuk, hogy =(1+k)^3/(1+k)=(1+k)^2, mivel erre hajtottunk. A második törtet egyébként tudnánk középiskolai módszerekkel is egyszerűsíteni, de most szerencsére arra nem feltétlenül van szükség; kiemelünk -3k-t;

=-3k*(1+k)/(k+1)=-3k

Így a két tört összege:

(1+k)^2-3k=1+2k+k^2-3k=1-k+k^2

Visszaírva az eredetit:

(1-q^2+q^4)

Tehát a feltételezés igaz.

(a^n+b^n) felírható szorzatalakban, ha n páratlan.

Ez benne van a függvénytáblában.

A képletet itt is megtalálod:

[link]

1+q^6 = 1^3 + (q^2)^3

Vagyis most a=1, b=q^2 és n=3.