Sin54°-sin18°=0,5 Hogyan bizonyítsuk?

Az nem.

A trigonometrikus azonosságokat kell használni.

[link]

Arra nincs recept, hogy mikor melyiket, próbálkozni kell.

A jobb oldal 0,5, ami sin(30) vagy cos(60)

Tehát vagy valahogy ki kell ejteni tagokat, míg a fél marad, vagy addig kéne alakítani a bal oldalt, míg ki nem jön a sin(30). Itt valószínűleg ki kell ejteni a tagokat.

sin (54) = cos(36)

sin (18) = cos(72)

cos(36)-cos(72) = -2* sin(54)*sin(-18) = 2* sin(54)*sin(18)

Igazából ez az alak se tűnik sokkal szimpatikusabbnak, de erre már találtam megoldást a neten.

2* sin(54)*sin(18) = 2* sin(54)*sin(18)*cos(18)/cos(18) =

beszorozzuk cos(18)/cos(18)-al, mert úgy tudjuk használni a 2*sin x * cos x = sin 2x azonosságot.

sin(54)*sin(36)/cos(18) = cos(36) *sin(36)/cos(18) =

sin (54) = cos (36) és ismét használhatjuk az azonosságot, ha 2-vel bővítjük a törtet.

2* cos(36) *sin(36)/[2* cos(18)] = sin(72) / [2* cos(18)]

sin (72)= cos(18)

cos (18) / [2* cos(18)] = 1/2 készen vagyunk

Elismerésem Ifjutitan levezetésének, de mutatnék egy másik megoldást is.

A 18° és 54° a szabályos ötszögben előforduló jellegzetes szögek.

A linken található Wikipédia oldalon van is rövid utalás az aranymetszés arányszámával történő szögfüggvény kiszámítására.

Az ötszög tele van ezekkel az arányokkal, és a geometriájából adódóan a szögeinek szögfüggvényei egyszerűen kifejezhetők az említett arányszámmal.

A minket érdeklő értékek a következők:

Ha

φ = (√5 - 1)/2

akkor

sin54° = (1 + φ)/2 = 1/2 + φ/2

sin18° = φ/2

és ezekből

sin54° - sin18° = 1/2

===============

DeeDee

**********