Hogyan bizonyítsuk be, hogy az alábbi egyenlőtlenség minden valós x-re fennáll?

Nagyon egyszerűen: megoldod ezt a két egyenlőtlenséget:

1≤(2x^2+6x+6)/(x^2+4x+5)

Mielőtt szoroznánk, meg kell néznünk, hogy a nevező lesz-e, és ha lesz, hol lesz negatív, mivel akkor a relációsjelnek szorzásnál meg kell fordulnia. Ha kiszámoljuk a gyökeit, látjuk, hogy nincs valós gyöke, és mivel a főegyüttható pozitív, ezért nyugodt szívvel szorozhatunk:

x^2+4x+5≤2x^2+6x+6 /a bal oldalt 0-ra redukáljuk:

0≤x^2+2x+1

Megoldóképletből látjuk, hogy a -1 kétszeres gyök, vagyis

0≤(x+1)^2, ez pedig tetszőleges x-re teljesülni fog, tehát az állítás ezen része igaz.

Másik oldal:

(2x^2+6x+6)/(x^2+4x+5)≤3, az előzőek miatt szorozhatunk:

2x^2+6x+6≤3(x^2+4x+5)

2x^2+6x+6≤3x^2+12x+15 /a bal oldalt 0-ra redukáljuk

0≤x^2+6x+9, megoldóképletből kijön, hogy a -3 kétszeres gyök, ezért

0≤(x-3)^2, ez is tetszőleges x-re igaz.

Tehát az állítás igaz.