Hogyan bizonyítom indirekt en azt hogy sqrt (2) +sqrt (5) irracionális?

Indirekt bizonyítás:

Tegyük fel, hogy racionális, vagyis

gyök(2) + gyök(5) = p/q

Ahol p, q >0 és egészek.

Ez a kiinduló pont, innen kell addig alakítani, míg ellentmondásra nem jutunk. Ebből következik, hogy nincs ilyen p és q, vagyis nem racionális.

Az sqrt (2) és sqrt(5) külön nem bizonyít semmit, és az sqrt(2+5)-nek semmi köze a feladathoz.

Mert sqrt(2) + sqrt(5) és az sqrt(2+5) között nincs értelmes kapcsolat.

Az nem elég, ha külön-külön belátod, mivel két irracionális szám összege is lehet racionális.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, miszerint az összeg irracionális lenne, tehát racionális, vagyis létezik a;b egész számok, amelyekre (a;b)=1 és a/b=gyök(2)+gyök(5). Emeljük mindkét oldalt négyzetre:

a^2/b^2=2+2*gyök(10)+5=7+gyök(10)

Azt viszont tudjuk, hogy egy egész és egy irracionális szám összege mindig irracionális lesz (racionálissal is igaz, de nekünk most elég az egész, és ezt még nem is nehéz megérteni). Tehát a kérdés, hogy gyök(10) irracionális-e. Ugyanúgy kezdjük, mint az előbb; indirekt feltesszük, hogy racionális, vagyis létezik olyan c;d számok, melyekre (c;d)=1 és c/d=gyök(10). NMégyzetre emelünk:

c^2/d^2=10 /*d^2

c^2=10*d^2

Ez azt jelenti, hogy c^2 osztható 10-zel, így c-nek is oszthatónak kell lennie (mivel ha egy négyzetszám osztható 10-zel, akkor a gyöke is osztható 10-zel). Tehát c=10*k alakú számmal, így:

(10*k)^2=10*d^2

100*k^2=10*d^2

10*k^2=d^2, ebből következően d^2 is osztható 10-zel, így d is osztható.

Ez viszont ellentmondáshoz vezet, mivel eredetileg (c;d)=1 volt a feltevés szerint, viszont látható, hogy mindkettő osztható 10-zel, így ellentmond a feltevésnek, tehát az eredeti volt igaz; gyök(10) irracionális.

Ebből következően 7+gyök(10) is irracionális, ez pedig egy számmnak a négyzete volt. Már pedig racionális szám négyzete mindig racionális, így az eredeti szám is irracionális kell, hogy legyen.

Tehát gyök(2)+gyök(5) irracionális.