Hányan laknak a városban?

Az első rész:

(2n alatt a 0) + (2n alatt az 1) + ... + (2n alatt a 2n)

Ez összesen 2^(2n)

A felét kiválasztani:

(2n alatt az n) = (2n)!/(n!)^2

Az egyenlet:

2^(2n)>160*(2n)!/(n!)^2

Ennek keressük a legkisebb egész n megoldását.

Próbálgatással meg lehetne határozni, ha n nem lenne ilyen iszonyat nagy. 500-nál még mindig csak 40x-es a különbség.

Stirling formulával becsüljünk:

[link]

2^(2n)>160*(2n)!/(n!)^2

Ezt írjuk át úgy, hogy

2^(2n) * (n!)^2 / (2n)! > 160

Számoljuk ki a bal oldalt.

(n!)^2 = 2*pi*n * (n/e)^(2n)

(2n)! = gyök ( 4 * pi * n) * (2n/e)^(2n)

2^(2n) * (n!)^2 / (2n)! =

2^(2n) * 2*pi*n * (n/e)^(2n) / [gyök ( 4 * pi * n) * (2n/e)^(2n)] =

Az egyszerűsítések után:

gyök(pi * n)

Vagyis

gyök(pi * n) > 160

pi * n >160^2

n > 160^2 / pi

Innen n>8148,73 jön ki.

8148 lakosra 159,99-et ad a közelítés.

8150-re 160,01-et.

A városnak 8150 lakosa van.

Vagyis ez az n.

A városnak 2*8150 lakosa van.