Ezt a fizika feladatot hogy kell megoldani?

Ez egy gyakran előforduló feladat, annak egy megoldását másoltam ide.

Remélem nem okoz gondot, hogy fatörzs helyett vasuti kocsi a főszereplő. :-)

Feladat: Egy lassan mozgó vasúti kocsit vele egy irányba haladva 17 lépés, ellentétes irányban pedig 12 lépés hosszúnak találunk. Hány lépés hosszú a kocsi?

Legyen

v0 - a vagon sebessége

v - a gyalogló sebessége

L1 = 17 lépés - az egyirányú,

L2 = 12 lépés - a ellentétes irányú

mozgás során megtett lépések száma.

L0 = ? a vagon hossza [lépés]

Természetesen v > v0, különben nem lehet utolérni a vagont. :-)

Tekintsük a vagont állónak, a gyaloglót pedig a sebességek különbségével mozgónak.

Ekkor egyirányú mozgás esetén

(v - v0) sebességgel t1 idő alatt

ellentétes esetben pedig

(v + v0) sebességgel t2 idő alatt

ér a gyalogló az L0 hosszúságú kocsi végére.

Ez egyenlet formájában így írható fel

(v - v0)*t1 = L0

és

(v + v0)*t2 = L0

Hiányzik még az idők értéke.

Mivel egyirányú mozgás esetén L1 lépést kell megtenni v sebességgel, így

t1 = L1/v

ellenirányban pedig L2 lépést szükséges v sebességgel, vagyis

t2 = L2/v

Ezeket behelyettesítve az előző képletekbe

(v - v0)*L1/v = L0

(v + v0)*L2/v = L0

Még túl sok az ismeretlen, ritkítani kéne őket. :-)

Ebből a célból rendezzük át az egyenleteket a következő formára

v - v0 = v*L0/L1

v + v0 = v*L0/L2

A két egyenletet összeadva, a jobb oldalon kiemelve lesz

2v = v*L0(1/L1 + 1/L2)

v - vel lehet egyszerűsíteni, ezzel minden sebesség kiesik és csak ismert mennyiségek maradnak:

2 = L0(1/L1 + 1/ L2)

A zárójelben összevonva

2 = L0(L1 + L2)/L1*L2

Ebből kifejezve a keresett L0 mennyiséget

L0 = 2*L1*L2(L1 + L2) [lépésszám]

=================

ami nem más, mint a két lépésszám harmonikus közepe, azaz

L0 = H(L1,L2)

==========

A behelyettesítést a kérdezőre bízom, hogy lássa, kijön a végeredményként megadott szám. :-)

Ennyi sikerélményt megérdemel.

DeeDee

**********