Miből derül ki, hogy az alábbi függvény nem invertálható?

Egy f függvény akkor invertálható, ha létezik egy g FÜGGVÉNY, amivel g(f(x)) = x.

Na most a függvény azt jelenti, hogy egyértelmű hozzárendelés. Szóval ha az f ugyanazt az értéket több helyen is felveszi, akkor esélyed sincs g függvényt találni, hiszen akkor g-nek ehhez az értékhez többféle értéket kéne rendelnie, nem lenne egyértelmű, hogy melyiket.

A te f függvényed például az x1 = 0,5 és az x2 = 2 helyen is a 0,8 értéket veszi fel, így g-nek a 0,8-hoz 0,5-öt vagy 2-t kell rendelnie, tehát nem egyértelmű, nem lehet függvény, az f nem invertálható.

Próbáld ábrázolni. Ha van olyan x-tengellyel párhuzamos („vízszintes”) vonal, ami több helyen is metszi, akkor nem invertálható.

Ha van lokális szélsőértéke, akkor sem invertálható, szóval deriválással is előbbre juthatsz. (Viszont ez nem szükséges feltétel. Például az 1/x^2 sem invertálható, mert a -1-ben ugyanaz, mint az 1-ben, de nincsen lokális szélsőértéke.)

Végül is, így is el lehet indulni, csak lustácska vagyok most hozzá.

Az inverz függvényt valóban úgy lehet kiszámolni, hogy az f(y) = x függvényt megoldjuk y-ra. (Ezt úgy lehet bizonyítani, hogy alkalmazzuk mindkét oldalra a g-t: g(f(y)) = y = g(x).)

Szóval a konkrét esetben:

x = 2*y/(1 + y^2).

A nevező mindig pozitív, szorozhatunk vele:

x*y^2 + x = 2*y,

x*y^2 - 2*y + x = 0.

Közben olvasom a 23:01-es választ: igen elég. Én is pont ezt akartam még leírni. Van olyan x, hogy y-ra nézve több megoldás van, itt az inverz nem lesz egyértelmű, nem lesz függvény, tehát készen vagy.