Függvény invertálás. Milyen a eleme R esetén lesz a függvény invertálható? Többi a képen.

f(-1) = 1

f(-0) = 1/2 (szóval pici negatív számokra közel 1/2)

  a kettő között pedig 1 és 1/2 között megy: 1/2 < f(x) ≤ 1

f(0) = a

f(4) = 4+a

  a kettő között pedig a és 4+a között megy: a ≤ f(x) ≤ 4+a

Az invertálhatóságnak az a feltétele, hogy kétféle x-hez ne tartozzon ugyanakkora f(x), szóval a fenti két intervallum ne legyen átlapolódó, még egyetlen pontban sem. Ez kétféle esetben is igaz:

a) a > 1

b) 4+a ≤ 1/2

    a ≤ -7/2

Az inverz függvény ott van értelmezve, ami az eredeti függvénynek az értékkészlete:

Df⁻¹ = (1/2; 1] ∪ [a; 4+a]

Az inverz függvénynek az az értékkészlete, ami az eredetinek az értelmezési tartománya:

Rf⁻¹ = [-1; 4]

f⁻¹ kiszámolása:

Az eredeti függvény negatívoknál:

y = 1/(x+2)

yx + 2y = 1

yx = 1-2y

x = (1-2y)/y

Az eredeti függvény pozitívoknál:

y = 2√x + a

(y-a)/2 = √x

x = (y-a)²/4

Összefoglalva:

            {  (1-2x)/x, ha 1/2 < x ≤ 1

f⁻¹(x) := {

            {  (x-a)²/4,        ha    a   ≤ x ≤ 4+a