Informatikába, vagy bárhol, a számrendszereket hogy lehet értelmezni?

Valamilyen számos számrendszer nagyjából annyit jelent, hogy hány különböző számjegy van adott számrendszerben, illetve hogy egy adott helyiértéken milyen különböző számjegyek fordulhatnak elő.

Pl. kettes számrendszer esetében két számjegy létezik: 0 és 1. Így alkotható meg pl. a 11010001 szám. A számítógép esetében ez azért jó, mert pl. az elektronikai események nyelve leginkább ilyen kétértű szabályrendszerben értelmezhető (van feszültség - nincs feszültség, mágnesezett - nem mágnesezett stb.). Emellett az informatika más ágán is hasznos persze.

Ez most talán leegyszerűsítő, és szakmailag kifogásolható, de talán a célnak megfelel.

Azt, hogy a számítógép miért használ 2-es (bináris) számrendszert, azt már leírta valaki, mikor ezt írom.

A 10-es számrendszert nyilván ismered. 10 különböző karaktert használ, 0, 1, 2, … 9. A számjegyek különböző értéket képviselhetnek, attól függően, hogy jobbról balra számítva hanyadik helyen vannak.

A jobb szélső hely értéke tíz a nulladikon, vagyis egy. A tőle balra levő hely értéke tíz az elsőn, vagyis tíz. A tőle balra levő hely értéke tíz a másodikon, vagyis száz. És így tovább.

Mennyit jelent 10-es számrendszerben a 328? A jobb szélső hely értéke 1, és 8 db van belőle. A balra következő hely értéke 10, és 2 van belőle. A balra következő hely értéke 100, és 3 van belőle. Adogassuk össze: 8*1+2*10+3*100=8+20+300=328.

Ennek alapján nézzük például a 3-as számrendszert. 3 különböző karaktert használ: 0, 1, 2. A számjegyek különböző értéket képviselhetnek, attól függően, hogy jobbról balra számítva hanyadik helyen vannak.

A jobb szélső hely értéke három a nulladikon, vagyis egy. A tőle balra levő hely értéke három az elsőn, vagyis három. A tőle balra levő hely értéke három a másodikon, vagyis kilenc. És így tovább.

Mennyit jelent 3-as számrendszerben a 120? A jobb szélső hely értéke 1, és 0 db van belőle. A balra következő hely értéke 3, és 2 van belőle. A balra következő hely értéke 9, és 1 van belőle. Adogassuk össze: 0*1+2*3+1*9=0+6+9=15. (Persze, a 15 tízes számrendszerben van.)

Ki tudnád számolni, hogy ha 2-es számrendszerben leírjuk a legnagyobb 3-jegyű számot, az mennyi 10-es számrendszerben? (PRÓBÁLD MAGAD, AZTÁN VESD ÖSSZE AZ ÁLTALAM LEÍRTAKKAL!)

Hármas számrendszerben a legnagyobb alkalmazott számjegy a 2. Így a legnagyobb 3-jegyű szám a 222. Ennek értéke 10-es számrendszerben: 2*1+2*3+2*9=2+6+18=26.

Persze, nem csak 3 jegyű számok lehetnek a különböző számrendszerekben; azért írtam, mert már elég jól mutatják a jellegzetességet, de nem túl hosszú az ismertetőjük.

Például 3-as számrendszerben a balra következő hely értéke három a harmadikon lenne, vagyis 27, és így tovább.

(Ha a hatvány nem gond, ezt a zárójeles részt ugord át.

Például kettő a harmadikon azt jelenti, hogy a kettőt háromszor kell szorzótényezőül venni, vagyis 2*2*2=8.

Például három az ötödiken azt jelenti, hogy a hármat ötször kell szorzótényezőül venni, vagyis 3*3*3*3*3=243.

És megállapodás szerint minden szám nulladik hatványa=1)

Most próbáld az 5-ös számrendszert meggondolni! (PRÓBÁLD MAGAD, AZTÁN VESD ÖSSZE AZ ÁLTALAM LEÍRTAKKAL!)

5 különböző karaktert használ: 0, 1, 2, 3 , 4. A számjegyek különböző értéket képviselhetnek, attól függően, hogy jobbról balra számítva hanyadik helyen vannak.

A jobb szélső hely értéke öt a nulladikon, vagyis egy. A tőle balra levő hely értéke öt az elsőn, vagyis öt. A tőle balra levő hely értéke öt a másodikon, vagyis huszonöt. És így tovább.

Mennyit jelent 5-ös számrendszerben a 23? A jobb szélső hely értéke 1, és 3 db van belőle. A balra következő hely értéke 5, és 2 van belőle. Adogassuk össze: 3*1+2*5=3+10=13. (Persze, a 13 tízes számrendszerben van.)

És például a 16-os számrendszer? Csak 10 számjegyünk van, ezért betűkkel pótoljuk. A számjegyek, rendre, 0-9 értékűek. Még kell 6 „számjegy”. Az A legyen 10, a B legyen 11, a C legyen 12, a D legyen 13, az E legyen 14, az F legyen 15 értékű.

Mennyi 10-es számrendszerben a 16-os számrendszerben megadott 2C9?

A jobb szélső hely tizenhat a nulladikon, vagyis egy. A balra levő hely értéke tizenhat az elsőn, vagyis tizenhat. A balra levő hely értéke tizenhat a másodikon, vagyis kétszázötvenhat.

És akkor a 2C9?

A jobb szélső hely értéke 1, és 9 van belőle. A balra levő hely értéke 16 és C, vagyis 12 van belőle. A balra levő hely értéke 256, és 2 van belőle.

Adogassuk össze: 9*1+12*16+2*256=9+192+512=713.

Általában tehát:

- Annyi alaki értéket kell használni (mindig 0-val kezdve), ahanyas számrendszerről van szó (4-esnél 4-et: 0, 1, 2 3; 8-asnál 8-at: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ennyi, és csak ennyi számjegy használható, például 3-as számrendszerben adott számban nem lehet 6-os számjegy, de már 3-as sem.) Ha kevés a 10 számjegy, akkor az ABC betűivel folytatjuk.

- A helyi értékek jobbról balra nőnek. A számrendszer meghatározója az alap, a kitevő pedig jobbról balra, sorra, 0, 1, 2, 3, 4, … (Például 7-es számrendszer balról 5. helyének értéke hét a negyediken, ami 2401. Tehát, ha ezen a helyen 1-es számjegy szerepel, az 2401-et jelent. De lehet 6-os számjegy is, ami 6*2401=14406. 10-es számrendszerben, ha balról az 5. helyen 6-os szerepel, az hatszor tíz a negyediken, azaz 60000.)

Emlékeim szerint a 16-os számrendszernél nem 10, hanem tizenhat szám van. 0-15 - ig.

Hacsak véletlenül nem keverem a kombinarotikus logikával(ami előfordulhat, mert 20 év nagy idő), akkor:

A helyiértékek alapja a számok hatványa.

Az első hatványszám a kettesnél a 0.

Kettő a nulladikon=1 Az utolsó szám jelöli az egyeseket.

Az utolsó előtti hatvány az 1. Kettő az elsőn=2

Az az előtti számjegy a kettő második hatványa=4

Az az előtti számjegy a kettő harmadik hatványa=8 ...

Csak két számjegy van: 0 és 1 (A nulla azt jelenti, helyiérték szerint ott nincs értelmezhető elem, a1 azt, hogy van.

Ilyen alapon:

2-számrendszerű szám = tízes számrendszerű szám:

1 = 1

10 = 2 (2ˇ1*1+2ˇ0*0= 2+0)

11 = 3 (2ˇ1*1+2ˇ0*1= 2+1)

100 = 4 (2ˇ2*1 + 2ˇ1*0+2ˇ0*0= 4+0+0)

101 = 5 (2ˇ2*1 + 2ˇ1*0+2ˇ0*1= 4+0+1)

110 = 6 (2ˇ2*1 + 2ˇ1*1+2ˇ0*0= 4+2+0)

111 = 7 (2ˇ2*1 + 2ˇ1*1+2ˇ0*1= 4+2+1

1000 = 8 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*0 + 2ˇ1*0+2ˇ0*0= 8+0+0+0)

1001 = 9 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*0 + 2ˇ1*0+2ˇ0*1= 8+0+0+1)

1010 = 10 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*0 + 2ˇ1*1+2ˇ0*0= 8+0+2+0)

1011 = 11 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*0 + 2ˇ1*1+2ˇ0*1= 8+0+2+1)

1100 = 12 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*1 + 2ˇ1*0+2ˇ0*0= 8+4+0+0)

1101 = 13 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*1 + 2ˇ1*0+2ˇ0*1= 8+4+0+1)

1110 = 14 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*1 + 2ˇ1*1+2ˇ0*0= 8+4+2+0)

1111 = 15 (2ˇ3*1 + 2ˇ2*1 + 2ˇ1*1+2ˇ0*1= 8+4+2+1)

10000 = 16 (2ˇ4*1 + 2ˇ3*0+2ˇ2*0+2ˇ1*0+2ˇ0*0= 16+0+0+0+0)

és így tovább 10001 = 17

A 16-os számrendszerben az utolsó 0. elem a 16ˇ0=1

Az utolsó előtti elem 16ˇ1=16

Az az előtti 16ˇ2= 256 ...

és a számjegyek 0-15-ig vannak.

Ilyen alapon:

1 =1

2=2

3=3

4=4 (négy darab 16ˇ0 van, tehát négy)

5=5 (öt darab 16ˇ0 van, tehát öt) ...

(10)= 10

(11)= 11

(12)=12

(13)=13

(14) =14

(15)=15

10 = 16 (1 darab 16ˇ1 és 0 darab 16ˇ0 van,tehát 16)

11 = 17 (1 darab 16ˇ1 és 1 darab 16ˇ0 van,tehát 17)

12 = 18 (1 darab 16ˇ1 és 2 darab 16ˇ0 van,tehát 18)...

1(10)= 26 (1 darab 16ˇ1 és 10 darab 16ˇ0 van,tehát 26)

1(11)= 27 (1 darab 16ˇ1 és 11 darab 16ˇ0 van,tehát 27)...

1(15) = 31 (1 darab 16ˇ1 és 15 darab 16ˇ0 van,tehát 31)

20 = 32 (2 darab 16ˇ1 és 0 darab 16ˇ0 van,tehát 32)

21 = 33 (2 darab 16ˇ1 és 1 darab 16ˇ0 van,tehát 33)

22 = 34 (2 darab 16ˇ1 és 2 darab 16ˇ0 van,tehát 34)...

2(10)= 42 (2 darab 16ˇ1 és 10 darab 16ˇ0 van,tehát 42)...

2(15)=47 (2 darab 16ˇ1 és 15 darab 16ˇ0 van,tehát 47)

30 = 48 (3 darab 16ˇ1 és 0 darab 16ˇ0 van,tehát 48)...

(10)(10)= 170 (10darab 16ˇ1 és 10darab 16ˇ0 van,tehát 170)

(15)(15)=255 (15darab 16ˇ1 és 15darab 16ˇ0 van,tehát 255)

100 = 256 (1 darab 16ˇ2, 0darab 16ˇ1 és 0darab 16ˇ0 van,tehát 256)

Remélem,

(1) Jól emlékszem

(2) Nem volt túl lila.

A számítógép kettes algoritmusa a nyílt és a zárt elvén működik.

Hmm!

Akkor jól emlékeztem, kösz 4.