Hogyan kell a következő feladat megoldani deriválással?

Felszín: r²π + rπa

Térfogat: r²π·m/3

ahol m = √(a²-r²)

Ha a térfogatok egyenlőek, akkor r²·m állandó, mondjuk az egyszerűség kedvéért legyen 1:

r²·√(a²-r²) = 1

a² = 1/r⁴ + r²

Ezt helyettesítsük be a felszín képletébe:

F(r) = r²π + rπ·√(1/r⁴ + r²)

F(r) = π(r² + √(1/r² + r⁴))

Ezt (a zárójelben lévőt, a π nem számít) kicsit munkás deriválni, de nem túl nehéz. Nem írom le, sokat kellene zárójelezni. Aztán levezetni a szélsőértéket még bonyolultabb, hatodik hatvány van benne, de kis átalakítással végülis r³-re nézve csak négyzetes lesz. Ezt főleg nem írom le...

Elírhattad, minimuma van, nem maximuma, itt:

r = 1/√2

Ebből számítsuk ki az alkotó értékét:

a² = 1/r⁴ + r² = 4 + 1/2 = 9/2

Aztán számoljuk ki a/r-et:

a²/r² = (9/2)/(1/2)

a = 3r