Valaki segítene ebben a geometria feladatban?

A BGO/BDO háromszög szögeit ki lehet számolni, megvan a B csúcsnál található szög (beta).

Az CDO/CEO háromszög szögeit szintén ki lehet számolni, megvan a C csúcsnál található szög (gamma).

Az A csúcsnál található szög (alfa) 180-beta-gamma, amiből szintén ki lehet számolni az AE0/AGO háromszöghöz tartozó AE/AG egyenest.

Legyen

p = 8

q = 6

r = 4

A megoldás stratégiája: a Heron képlettel (Th) és a beírt kör sugarával (Tr) számított terület egyenlővé tétele

Th = Tr

A számításhoz szükséges félkerület

A kerület

K = 2p + 2q + 2e = 2(p + q + e)

Ebből a félkerület

s = K/2

s = p + q + e

A terület a Heron képlettel (négyzetre emelt formában)

T² = (p + q + e)*p*q*e

A terület a beírt kör sugarával

T = r*s

T = r(p + q + e)

Ennek a négyzete

T² = r²(p + q + e)²

A két területet (a négyzetük) egyenlővé téve

p*q*e(p + q + e) = r²(p + q + e)²

Egyszerűsítés után

p*q*e = r²(p + q + e)

p*q*e = r²(p + q) + r²*e

Rendezve és kiemelve

e(p*q - r²) = r²(p + q)

ebből

e = r²(p + q)/(p*q - r²)

===============

Behelyettesítés után adódik, hogy

e = 7

====

Q.E.D

DeeDee

*******

A 2. válaszoló írja:

"Kézenfekvő lenne a trigonometriát használni, de gondolom ennél a feladatnál azt nem lehet."

Minden olyan módszert lehet alkalmazni, ami elvezet a megoldáshoz!

Legfeljebb az egyikkel rövidebb, a másikkal hosszabb úton lehet elérni a végeredményhez.

Ezért gondoltam azt, hogy leírok egy másfajta megoldást is, hátha valakinek ez tetszik jobban. :-)

Használjuk a derékszögű háromszögeket és a szögfüggvényeket.

Az EAO háromszögben az EAO szög α.

Így írható, hogy

tgα = r/e

ebből

e = r/tgα = r*ctgα

Most már csak az α értékét kellene használható formában előállítani és megvan a megoldás.

Legyenek a kiinduló háromszög szögei: 2α, 2ß, 2γ

Ezek összege mint közismert 180°, vagyis

2α + 2ß + 2γ = 180

ill

α + ß + γ = 90°

és

α = 90 - (ß + γ)

Ezt behelyettesítve a keresett szakasz képletébe

e = r*ctg[90 - (ß + γ)]

Az összegfüggvényt kifejtve adódik, hogy

ctg[90 - (ß + γ)] = tg(ß + γ)

ezzel

e = r*tg(ß + γ)

A BDO háromszögből

tgß = r/p

A CDO háromszögből

tgγ = r/q

Akik szívesebben dolgoznak számokkal mint jelekkel, itt meg is állhatnak:

Az utóbbi két képletből megkapják a ß és γ értékét, ezeket és a sugár értékét behelyettesítve az

e = r*tg(ß + γ)

képletbe megkapják a megoldást (e = 7)

A kicsit igényesebbek tovább mehetnek egy lépéssel. A

tg(ß + γ) összegfüggvényt kifejtve lesz

tg(ß + γ) = (tgß + tgγ)/(1 - tgß*tgγ)

A tgß=r/p és a tgγ=r/q fenti értéket behelyettesítve összevonás, egyszerűsítés után azt kapják, hogy

tg(ß + γ) = r(p + q)/(p*q - r²)

Ezzel a keresett szakaszhossz:

e = r*tg(ß + γ)

e = r²(p + q)/(p*q - r²)

vagyis ugyanaz, mint az előző gondolatmenettel kapott megoldás.

Egész biztos, hogy van még több megoldás is, aki tud ilyet, tegye közzé mindenki épülésére. :-)

DeeDee

**********