Nagyon nagyon szepen megkerek valaki elmagyarazza nekem ennek a feladatnak a megoldasat es azt ishogy mit hogyan es miert kell megoldani?

E(x)

Elemi módszerrel (deriválás nélkül):

a számlálóból ki kell emelni a nevezőnek megfelelő tagot, így azzal lehet egyszerűsíteni:

x^2-2x+3/x^2-2x+5 = x^2-2x+5-2/x^2-2x+5 = 1 - 2/x^2-2x+5

Ez akkor lesz minimális, ha - 2/x^2-2x+5 minimális, mivel az 1 konstans. Ez ugyanaz, mintha 2/x^2-2x+5 maximális, azaz x^2-2x+5 minimális. Ezt teljes négyzetté lehet alakítani: x^2-2x+5=(x-1)^2 +4 . Ez akkor minimálkis, ha (x-1) 0, azaz x=1. Az ehhez tartózó függvényértékhez már csak be kell helyettesíteni.

Deriválással:

E'(x)= ((2x-2)(x^2-2x+5)-(2x-2)(x^2-2x+3)) / (x^2-2x+5)^2 = 2(2x-2) / (x^2-2x+5)^2

Szélsőérték: E'(x)=0

A számláló nem lesz nulla, mivel ahol E'(x) 0 lenne, ott E(x) ninc értelmezve (a nevező nulla).

Így 2(2x-2)=0

x-1=0

x=1

Még le kell ellenőrizni hogy egy minimumhely-e, amit például úgy lehet, hogy megnézed a második deriváltját, ha ez pozitív, azaz a függvény konkáv. Ezt ugyanúgy a tört deriválási szabállyal teheted meg ( (f/g)'= (f'g-g'f)/g^2 ), most nem állok neki számolgatni.

F(x)

Elemi módszerrel elég zűrös, írj ha nektek az kell.

Deriválással:

F'(x)= (16x-4x^3*8x^2)/(x^4+4)^2

Itt a nevező nem is lehet negatív, hiszen x^4+4 >= 4 .

Így F'(x)=0

32x^5-16x=0

16x(2x^4-1)=0

x1=0

x2: 2x^4-1=0

2x^4=1

x^4=1/2

x2= negyedikgyök (1/2) /bocsi a jelölésért:P/

Szintén a második deriválttal lehet megnézni hogy minimum vagy maximumhely-e, a függvényérték behelyettesítéssel számolható.

/ ^ - vel a hatványozást jelöltem /

Úgy lett, hogy lehagytam a g-t az első tagban :P Bocsi. Helyesen:

(f/g)'=(f'g-fg')/g^2

Itt: f=8x^2 f'=16x

g=x^4+4 g'=4x^3

Tehát F'(x)=(16x*(x^4+4)-4x^3*8x^2)/(x^4+4)^2