Hogyan kell ezt a matekfeladatot megoldani? (területszámítás)

Ha

T0 - az eredeti háromszög,

T - a keresett terület

akkor

T = T0/7

vagyis az eredeti háromszög heted része.

A bizonyításon még dolgozom! :-)

Legyen az A,B,C-vel szemközti harmadolópontok neve rendre A', B' és C'

Legyen az mb szakasz a B pontból az AA' egyenesre állított merőleges, mc pedig a C-ből AA'-re állított merőleges. Könnyen belátható a hasonló háromszögek miatt, hogy mc = 2·mb

Ha az ABC területe 1, akkor tehát T(ABA') = 1/3

Pont ugyanígy vezethető le az is, hogy T(BCB') = T(CAC') = 1/3

Legyen mc' a C' pontból az AA' egyenesre állított merőleges. Párhuzamos szelők miatt mc'/mb = 1/3

Vagyis mc' = mb/3. Mivel mc = 2·mb, ezért mc' = mc/6

Az AP szakaszt tekintve alapnak így ez adódik: T(APC') = T(APC) / 6

Ami azt jelenti, hogy T(APC') = T(CAC')/7 = 1/21

Teljesen hasonlóan adódik a másik két pici háromszögre is, hogy T(BQA') = T(CRB') = 1/21

A PQR háromszög területe megegyezik a három pici háromszög területe összegével, vagyis T(PQR) = 3·1/21 = 1/7

(Hogy miért egyezik meg, annak belátását rád bízom)

Vagy számolhatsz úgy is, hogy mondjuk az APRB' négyszög területe = 1/3 - 1/21 - 1/21, stb.