Egy derekszogu haromszog egyik szoge 30 fokos es az atfogo hossza 8 cm. Szamitsatok ki a derekszoghoz tartozo szogfelezo hosszat. Segittek?

Legyen

α = 30° - az ismert szög

c = 8 cm - az átfogó

fc = ? - a derékszög szögfelezője

A megoldás legrövidebb megfogalmazása

fc = (c/√2)*H(sinα, cosα)

ahol

H(sinα, cosα) = 2*sinα*cosα/(sinα + cosα) - a sinα és cosα értékek harmonikus közepe.

**************

Koordináta geometriával

Az

x/a + y/b = 1

és az

x = y

egyenletrendszerből adódó x vagy y érték √2 - szerese.

fc = x*√2

ahol

a = c*sinα

b = c*cosα

*****************************

De van még több módszer is.

3-as ne zavarjon, hogy a trigonometria és a koordinátageometria középiskolás anyag...

Ennél egyszerűbbet így hirtelen nem találtam, valószínű, hogy van egyszerűbb is, de csak olyan eszközt használtam, amit általános iskolában tanítanak.

Első körben tükrözzük a háromszöget arra a befogójára, amelyiken a 30°-os szög van. Ekkor kapunk egy olyan háromszöget, melynek minden szöge 60°-os következésképp ez a háromszög szabályos. Mivel az előbbi befogó szimmetriatengely, így az úgy háromszög egyik oldalát felezi, és ez a féloldal megegyezik az eredeti háromszög másik befogójával, tehát az 4 cm hosszú. Pitagorasz-tételéből kiszámolhatjuk a harmadik oldalt (a) (^ jelöli a hatványozást, például 5^2=5*5=25):

a^2+4^2=8^2

a^2+16=64

a^2=48

a=√(48)=~6,9282, ekkora az előbb tükrözésre használt befogó.

Húzzuk be a kért szögfelezőt, majd a √(48)-as befogóra állítsunk merőlegest úgy, hogy a szögfelező és az átfogó metszéspontján átmenjen. Ekkor kapunk egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget; az egyik szöge (a merőleges miatt) 90°-os, másik szöge 45°-os, mivel a derékszöget feleztük el, és mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szöge is 45°-os. Ebből következően ez egy egyenlő szárú háromszög. Legyen az előbb behúzott merőleges szakasz, és az ezzel lemetszett rész hossza x, a befogó másik része ezzel logikusan √(48)-x=~6,9282-x. Ezzel a derékszögű háromszögön belül kaptunk egy másik derékszögű háromszöget, de ha másik irányból nézzük, akkor két szögszárra állítottunk egy pár párhuzamos szakaszt, tehát erre felírható a párhuzamos szelők tétele:

(6,9282-x)/x=(6,9282)/4 /*x; *4

27,7128-4*x=x*6,9282 /+4x

27,7128=10,9282*x /:10,9282

2,5359=~x

Az előbb megállapítottuk, hogy az x-ekkel jelölt háromszög derékszögű, átfogója a keresett szakasz (f). Így a Pitagorasz-tétel újra felírható:

2,5359^2+2,5359^2=f^2

6,43078881+6,43078881=f^2

12,86157762=f^2

3,5863=~f, vagyis ilyen hosszú a szögfelező hossza.

Ha valamit nem értesz, kérdezz :)