Valaki segít megoldani ezt a matek feladatot (függvény)?

f :R->R f(x)=mx^2-8x-3

mivel a föggvénynek maximuma van, így a parabola fordított állású m csak negatív valós szám lehet

m∈ℝ-

teljes négyzetté alakítunk

m[x^2-8x/m-3/m]

m[(x-4x/m)^2-16/m^2-3/m]

m(x-4x/m)^2-16/m-3

most megkaptuk az mx+b alakot ahol b aaz y tengelyen felvett érték,ezért

-16/m-3=5

-16/m=8

-16=8m

m=-2

f(x)=-2x^2-8x-3

teljes négyzetté alakítjuk

-2[x^2+4x+3/2]

-2[(x+2)^2-4+3/2]

-2(x+2)^2+8-3

-2(x+2)^2+5

f(x)=-2(x+2)^2+5

Ui: A jövőben bármely x az n. hatványon szereplő kifejezésre az x^n jelölést alkalmazd! :)

Bocsi az előbb elirtam egy kicsit, mert az mx+b az a lineális függvény alakjának képlete.

A másodfokú függvény képlete ax2 + bx + c = 0 és itt értelemszerűen c változó adja az y tengely metszetét.

Én másik oldalról közelítem meg a kérdést; milyen m paraméter esetén teljesül az mx^2-8x-3<=5 egyenlőtlenség tetszőleges x-re? (Ez azért ekvivalens átírás, mivel a maximum pontosan azt jelenti, hogy a függvény értéke vagy kisebb, vagy egyenlő, de egyenlőnek kell lennie legalább 1 pontban, és a másodfokú függvények csak 1 pontban veszik fel a szélsőértéket)

Rendezzük az egyenletet a szokott módon; redukálunk:

mx^2-8x-8<=0

A fenti egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a másodfokú kifejezésnek vagy 1 vagy 0 gyöke van, ezért a diszkriminánsnak <=-nek kell lennie 0-nál:

(-8)^2-4*m*(-8)<=0

64+32m<=0

32m<=-64

m<=-2, vagyis ha m<-2, akkor a függvény értéke végig 5 alatt lesz (mivel nem lesz gyöke (mivel a diszkrimináns úgy <0)), ha viszont m=-2, akkor 1 helyen 5 lesz az értéke (mivel a diszkrimináns=0), egyébként pedig mindig kisebb. Ezt az m-et kerestük.

Ellenőrzés: ha m=-2:

-2x^2-8x-3<=5 /-5

-2x^2-8x-8<=0 /:(-2), fordul a reláció

x^2+4x+4>=0, megoldóképlettel x1=-2, x2=-2, vagyis

(x-2)^2>=0, ez pedig tetszőleges x-re igaz lesz, mivel x-2 értéke ha 0, akkor négyzete is 0, tehát igaz lesz, egyébként pedig a négyzete mindig pozitív lesz, vagyis nagyobb, mint 0, ez is igaz.

Szép megoldások az eddigiek.

A rend kedvéért bemutatok egy harmadik lehetséges módszert is, amely talán a legrövidebb.

Ismeretes, hogy egy függvény maximumának szükséges feltétele, hogy az első derivált ott zérus legyen, azaz:

df/dx=2mx-8=0, amiből x=4/m a szélsőérték helye.

Ezt visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe:

m*(4/m)^2-32/m-3=5, melyből azonnal kapjuk hogy:

m=-2.

Most vizsgáljuk a második derivált előjelét:

d^2f/dx^2=2m<0, ami kisebb mint 0, így elégséges feltétel lokális maximumra.

Ezzel beláttuk, hogy m=-2 paraméter esetén x=-2 helyen a függvénynek maximuma van, ami épp 5.