Ki ért a matekhoz? Az segítsen légyszi

A nyerőszám az 5.

Ugyanis, ha a prímszám nem 5, akkor nem osztható öttel, tehát négyzete csak 1-et vagy 4-et adhat maradékul.

Ha a négyzet maradéka 1, akkor az első kifejezés osztható 5-tel. Ha a négyzet maradéka 4, akkor a második kifejezés lesz osztható 5-tel. Így minden prímszám kiesik, kivéve azt, ami osztható 5-tel.

Már csak azt kell ellenőrizni, hogy 101 és 151 is prím-e.

A prímszámok 1-re, 3-ra, 7-re vagy 9-re végződnek. (Kivéve a 2 és az 5, de ezekről később.)

Ha 1-re végződik, akkor a négyzete 1-re végződik.

Ha 3-ra végződik, akkor a négyzete 9-re végződik.

Ha 7-re végződik, akkor a négyzete 9-re végződik.

Ha 9-re végződik, akkor a négyzete 1-re végződik.

Tehát p^2 vagy 1-re vagy 9-re végződik.

Ha 1-re végződik, akkor 4p^2+1 értéke 5-re végződik. Ez csak akkor lehet prím, ha konkrétan 5 az értéke, de ekkor p=1, ami nem megoldás.

Ha 9-re végződik, akkor 6p^2+1 értéke 5-re végződik. Ez szintén csak akkor lehet prím, ha konkrétan 5 az értéke, de ekkor p egy törtszám, tehát ez se megoldás.

Maradt a 2 és az 5 vizsgálata.

p=2 esetén 4p^2+1=17, ami prím, 6p^2+1=25, ami nem prím, tehát ez sem megoldás.

p=5 esetén 4p^2+1=101, ami prím, 6p^2+1=151, ami szintén prím, tehát ez az egyetlen megoldása a feladatnak.