Kilencedikes trigonometria?

Itt valamilyen trigonometrikus azonosságot kell használni.

Van egy csomó féle azonosság félszögekre, összegre, szorzatra, és arra hogy lesz egyik fajta szögfüggvényből a másik. Azokat kell próbálgatni, amíg ki nem esik belőle valami.

Vagy mivel ezek tankönyvi példák, kiguglizni a megoldást, mert valahol valaki már tutira megkérdezte ezeket.

A másodikat egyből megtaláltam:

sin 30 = 1/2. Ezzel a továbbiakban nem kell foglalkozni.

A sin és cos között az alábbi összefüggés áll fenn:

sin x = cos (90-x)

sin 10 * sin 50 * sin 70 = cos 80 * cos 40 * cos 20

Ismert, hogy sin (2x) = 2*sin x * cos x

Vagyis, ha sin 20-al beszorozzuk és elosztjuk a jobb oldalt, akkor egyszerűbb alakra hozható

cos 80 * cos 40 * cos 20 * sin 20 / sin 20 =

cos 80 * cos 40 * sin 40/2 / sin 20 =

cos 80 * sin 80/4 / sin 20 =

sin 160/(8* sin 20) =

sin x = sin 180-x

Vagyis sin 160 = sin 20

=1/8

Ez beszorozva sin 30 fokkal kijön az 1/16.

Az elsőt egyelőre nem tudom.

Egyik feladat se tűnik túl könnyűnek, sokat kell trükközni, próbálgatni, hogy kijöjjön az eredmény.

A feladatok

a) tg 5º x tg 55º x tg 65º = 2-√3

b) sin 10º x sin 30º x sin 50º x sin 70º = 1/16

A második feladatban mindkét oldalt elosztva a sin30° ismert értékével a két feladat a következőképp néz ki:

a) tg 5º x tg 55º x tg 65º = 2 - √3

b) sin10º x sin 50º x sin 70º = 1/8

A két azonosság hasonló karaktere adott egy ötletet.

Hasonló karakter alatt azt értem, hogy mindkét feladat hasonló szerkezetű, azaz a legkisebb szög és egy nevezetes szög - ez esetünkben 60°- segítségével kifejezhetők a baloldal hiányzó tényezői.

A hasonlóság láttán támadt az a sejtésem, hogy a két feladat megoldása is hasonló szerkezetű lesz.

Az első feladat

tg 5º x tg 55º x tg 65º = 2 - √3

α = 5°

A nevezetes szög = 60°

ezért

55° = 60° - 5° = 60 - α

65° = 60° + 5° = 60 + α

ezekkel a feladat

tgα*tg(60 - α)*tg(60 + α) = 2 - √3

Az összegfüggvények kibontását nem részletezném, csak a végeredményt írom le:

tgα*(3 - tg²α)/(1 - 3*tg²α) = 2 - √3

Első pillanatra nem nyilvánvaló, de a szögfüggvényekkel kapcsolatos képletek közt kutatva kiderül, hogy a bal oldal nem más, mint a tg3α képlete!

Vagyis írható

tg3α = 2 - √3

Mivel

α = 5°

ezért

tg15° = 2 - √3

Ennek igazolására redukálódott a feladat.

Mivel

15°= 45°- 30°

ezért a

tg15° = tg(45 - 30) összeget kell meghatározni.

A kibontást mellőzve a végeredmény:

tg15° = tg(45 - 30) = 2 - √3

ezzel igazoltuk az azonosságot.

A fent említett sejtés szerint a második feladat megoldása is ilyen szerkezetű, ezt még igazolni vagy cáfolni illik.

A második feladatnál

sin10º x sin 50º x sin 70º = 1/8

ß = 10°

A nevezetes szög: 60°

ezért

50° = 60° - 10° = 60 - ß

70° = 60° + 10° = 60 + ß

így a feladat:

sinß*sin(60 - ß)*sin(60 + ß) = 1/8

A kibontás mellőzésével a végeredmény:

sinß(3 - 4*sin²ß) = 1/2

Körülnézve képletek közt kiderül, hogy a bal oldal nem más, mint a sin3ß képlete!!!

Vagyis

sin3ß = 1/2

Mivel

ß = 10

sin3ß = sin30° = 1/2

Ezzel igazoltuk ennek a feladatnak azonosságát és az azonos szerkezetű megoldásra vonatkozó sejtést is.

DeeDee

***********