Trigonometriában tudtoksegíteni? (sin x + sin 2x) * (2 cos x -1) = sin 3x

(sin x + sin 2x) · (2 cos x -1) = sin 3x

Tudjuk, hogy sin 2x = 2·sin x · cos x

sin x-et ki lehet emelni:

sin x · (1 + 2·cos x)·(2·cos x - 1) = sin 3x

A szorzat (a+b)(a-b) stílusú:

sin x · (4·cos²x - 1) = sin 3x

Kezdjünk valamit a sin 3x-szel:

sin 3x = sin(x+2x) = sin x · cos 2x + cos x · sin 2x

= sin x · (cos²x - sin²x) + cos x · 2·sin x · cos x

Itt is ki lehet emelni sin x-et:

= sin x · (cos²x - sin²x + 2 cos²x)

= sin x · (3 cos²x - sin²x)

Ebből már látszik, hogy ez azonosság lesz, hisz sin²x = 1 - cos²x:

= sin x · (4 cos²x - 1)

Ez meg ugyanaz, mint a bal oldal.

Vagyis az egyenlőség minden x-re teljesül.