Mi a megoldása enne a feladatnak?

  lim ( (4n+1)/(4n-3) )^(n+2)

n→∞

Nézzük csak a törtet először:

(4n+1)/(4n-3) = (4n-3 + 4)/(4n-3)

= 1 + 4/(4n-3) = 1 + 1/(n - 3/4)

Legyen m = n - 3/4 (ez is végtelenhez tart, ha n→∞)

= 1 + 1/m

A kitevő ekkor n+2 = m + 11/4

  lim (1 + 1/m)^m · (1 + 1/m)^(11/4)

m→∞

A szorzat második része 1-hez tart, az első pedig e-hez. Tehát a teljes határérték e.

Egy másik levezetés.

Először tekintsd a hatványalapot: (4n+1)/(4n-3). Nem változik a tört értéke, ha a számlálót és a nevezőt egyaránt elosztod 4n-nel. Kapod:

(4n+1)/(4n-3)=(1+1/4n)/(1-3/4n)=[1+(1/4)/n]/[1+(-3/4)/n].

Következik a hatványozás. Ha egy hatvány kitevőjében összeg szerepel, akkor ezt hatványok szorzatára bonthatjuk.

{(4n+1)/(4n-3)}^(n+1)=

{(4n+1)/(4n-3)}^n*{(4n+1)/(4n-3)}^1=előzőek miatt

{[1+(1/4)/n]/[1+(-3/4)/n]}^n*{[1+(1/4)/n]/[1+(-3/4)/n]}^1=

{[1+(1/4)/n]}^n}/{[1+(-3/4)/n]}^n}*[1+(1/4)/n]/[1+(-3/4)/n].

Használd fel, hogy lim(1+c/n)^n=e^c.

Kapod:

[e^(1/4)/e^(-3/4)]*1/1=e