Mi a megoldása a következő analízis feladatnak?

f(x)=4*x + 1/x

Ez maga a függvény, deriválás után pedig látni fogod.

Tehát a függvény: 4x+1/x, amit már előttem is írtak.

A függvény a (0;végtelen) intervallumon van értelmezve.

Deriváljuk a függvényt: ha átírjuk 1/x-et x^(-1) alakba, akkor a tanult képlettel már tudjuk is deriválni a függvényt:

(4x+x^(-1)'=4-x^(-2)=4-1/x^2

Az a kérdés, hogy ennek az értéke hol lesz 0; ahol a derivált értéke 0, ott lehet szélsőértéke az eredeti függvénynek:

4-1/x^2=0 /+1/x^2

4=1/x^2 /*x^2

4*x^2=1 /:4

x^2=1/4 /gyökvonás

x=1/2, vagy x=-1/2, de mivel az eredeti függvény a (0;végtelen) intervallumon volt értelmezve, ezért a -1/2 most kiesik a pixisből; így x=1/2 esetén lehet szélsőértéke.

A függvény értéke ekkor 4*1/2+1/(1/2)=2+2=4. Az a kérdés, hogy ez szélsőérték-e, és ha szélsőérték, akkor milyen? Akkor lesz ez szélsőérték, ha a derivált x<1/2 és x>1/2 esetén a derivált előjele különböző; ha x<1/2, akkor a derivált előjele negatív, ha x>1/2, akkor pozitív. Ez azt jelenti, hogy a (0;1/2) intervallumon csökken a függvény, 1/2-nél szélsőértéke van, majd az (1/2;végtelen) intervallumon elkezd nőni. Ebből következően a függvénynek 1/2 esetén minimuma van, aminek az értéke 4.

Még egy dolgot érdemes megemlíteni; nézzük meg a függvény határétékeit a kritikus pontokban; mivel a (0;végtelen) intervallumon a függvény folytonos, ezért ha 0<a<végtelen, akkor lim(x->a) (4x+1/x)=4a+1/a, tehát a kritikus pontos a 0 (abból is csak a jobboldali határérték), és a végtelen:

lim(x->0+) (4x+1/x)

4x 0-hoz tart, 1/x pedig +végtelenhez, mivel x értéke pozitív, és ha az 1-et minél kisebb számmal osztjuk, annál nagyobb számot kapunk, tehát a végtelenbe fog tartani (meg aztán, ismerjük az 1/x képét; ahogy közeledünk x=0-hoz, úgy kerülünk egyre közelebb az x-tengelyhez, azt viszont sose érjük el). Tehát a határérték végtelen.

lim(x->végtelen) (4x+1/x)

4x a végtelenben végtelenhez tart, 1/x 0-hoz, tehát a végtelenhez fog tartani itt is a függvény, tehát a függvény végtelen.

Tehát a függvény a végtelenből indul, tehát csökken, 1/2-nél megáll csökkenés, onnantól megint nő, és a végtelenbe tart. Tehát az egy globális szélsőérték lesz.

Ha a függvény a negatív számok halmazán is értelmezve van, akkor -végtelenben is megvizsgáljuk a határértéket, és ezeket összehasonlítjuk a kapott értékkel; ekkor látjuk, hogy az globális vagy lokális szélsőérték-e.