Ezt hogyan kell megoldani? X^2+x^1/2=84 x€R

Hát, a -9 nem sűrűn lesz megoldás, mivel a (-9)^(1/2)=√(-9) nem valós szám.

Hányadikos vagy? Amúgy én így oldanám meg;

Legyen √x=k, ekkor

k^4+k=84 /kiemelünk k-t

k*(k^3+1)=84

Tegyük fel, hogy k egész, ekkor a bal oldalon egy olyan szorzatot kapunk, aminek minden tagja egész. Ha pedig minden tagja egész, akkor biztos, hogy k|84, és/vagy (k^3+1)|84. Nézzük a k|84-et, vagyis azokat a k-kat keressük, amikkel el lehet osztani a 84-et. De mivel definiáltan √x=k, ezért k értéke csak nemnegatív lehet.

84 osztói:

1*84

2*42

3*14

4*21

6*14

7*12

Ezek k lehetséges értékei. Bepróbálgatjuk ezeket a számokat, és látjuk, hogy k=3 esetén megoldást kapunk. Ez azt jelenti, hogy a k^4+k-84 osztható k-3-mal; polinomiálisan elosztjuk egymással, de mivel ide eléggé körülményes lenne leírni, így kifejtem akkor a polinomosztást, ha külön igény van rá.

Hányadosnak k^3+3k^2+9k+28-t kapjuk, vagyis

k^4+k-84=(k-3)*(k^3+3k^2+9k+28) (zárójelbontással igazolható).

Tehát az egyenletünk már így néz ki:

(k-3)*(k^3+3k^2+9k+28)=0

A bal oldalon így egy szorzatot kapunk, ami csak akkor 0, ha k-3=0 (ezt az előbb számoltuk ki), vagy k^3+3k^2+9k+28=0. Látható, hogy ebben minden tag együtthatója pozitív, tehát k értéke nem lehet pozitív (nem jutunk a 0-hoz), sem 0 (=28), így csak negatív értéke lehet. Viszont k értéke definíció szerint csak pozitív lehet, ezért itt meg is állhatunk.

Tehát k=3 lesz a megoldás, de mivel √x=k, ezért √x=3, vagyis x=9, 1 valós megoldása van az egyenletnek.

Létezik egy tétel, miszerint ha egy polinomnak gyöke b, akkor abból (x-b) kiemelhető, a kiemelést pedig jobbára úgy szoktuk elvégezni, hogy osztunk. Ezt másodfokú kifejezéseknél már vettük; ha a másodfokú polinomnak gyöke x1 és x2, akkor felírható a*(x-x1)*(x-x2) alakban, ahol a az együttható, és 0-tól különbözik. Ennél is úgy van, hogy ha x1 gyöke, akkor a polinom osztható (x-x1)-gyel.

Polinomosztásnál gyakorlatilag az alsóban tanult bennfoglalást végezzük el, csak betűkkel; mindig úgy kell, hogy az osztóban a legnagyobb ismeretlen fokát megnézzük, hogy hányszor van meg az osztandó legnagyobbjában, aztán azzal visszaszorozzuk az osztót, majd kivonjuk belőle (csak úgy, mint a bennfoglalásnál). Nézzük a példánál:

(k^4+k-84):(k-3)=

A k^4-ben k k^3-szor van meg, vagyis

(k^4+k-84):(k-3)=k^3, ezzel visszaszorzunk:

(k-3)*k^3=k^4-3*k^3, ezt kivonjuk az osztandóból

k^4+k-84-(k^4-3*k^3)=k^4+k-84-k^4+3*k^3=3*k^3+k-84, ez a maradék. A következő lépésként (mint a bennfoglalásnál is) a maradékot osztjuk tovább:

(3*k^3+k-84):(k-3)=3*k^2, mivel ennyiszer van meg a 3*k^3-ban k. Visszaszorzunk, majd kivonjuk:

3*k^2*(k-3)=3*k^3-9*k^2

3*k^3+k-84-(3*k^3-9*k^2)=3*k^3+k-84-3*k^3+9*k^2=9*k^2+k-84, ez a maradék.

Innen már fejezd be; vagy folytatod, amit eddig csináltam, vagy felbontod a fenti alakra (a*(x-x1)*(x-x2)), aztán tudsz egyszerűsíteni k-3-mal. Ha nem megy, írj, aztán segítek még :)

Azok a részeredmények a megoldások; egymás mellé le kell őket írni a megfelelő előjellel. Mivel itt mindig mind az osztandó (és a maradékok), mind az osztó főegyütthatója pozitív volt, ezért a pozitív/pozitív=pozitív miatt mindegyik előjele pozitív, így össze kell ezeket adni.

Írok a kiemelésre egyszerű példákat, és akkor megérted miről beszélek (bár már kellett, hogy vegyétek, de sose árt ismételni :) )

3x^2+6x

Ebből ki tudunk emelni 3x-et, így kapjuk, hogy

3x*(x+2)

Ezt hogy csináltuk? Mindig mondogatjuk, hogy "mit kell megszorozni a 3x-szel, hogy 3x^2-et kapjunk?" Kreatívan azt a megoldást adhatjuk, hogy 3x^2/(3x), mivel 3x*(3x^2/(3x))=6x^2. No de mennyi 3x^2/(3x)? Ezt könnyen ki tudjuk számolni; x. Ugyanez a helyzet ennél a feladatnál is; emeljünk ki (k-3)at:

(k-3)*((k^4+k+84)/(k-3)), na de mennyi (k^4+k+84)/(k-3)? Itt jön be a polinomosztás; amiket kiszámolunk, mindig odaírjuk az egyenlőségjel mögé, persze előjellel. Így kapunk egy polinomot, ami egyenlő lesz ezzel a hányadossal.

Remélem így érthető, ha mégsem, kérdezz még :)

"...9*k^2+k-84, ez a maradék.

Innen már fejezd be; vagy folytatod, amit eddig csináltam, vagy felbontod a fenti alakra (a*(x-x1)*(x-x2)), aztán tudsz egyszerűsíteni k-3-mal."

Ennek a másodfokú egyenletnek kellenek a gyökei. Megoldóképlettel megoldjuk, megkapjuk, hogy k1=3 és k2=-28/9. Esetünkben a=9, ezért ezt írhatjuk fel: 9*(k-3)*(k-(-28/9))=9*(k-3)*(k+28/9), ebből már látszik, hogy ez a továbbosztásnál osztható k-3-mal.