A bekarikázott feladatokat nem nagyon értem. A tanár ezeket adta fel gyakorlásnak. Tudtok nekem segíteni?

Itt mind bevan karikázva :D

leg. kezdj neki

1.Egyszerű egyenletmegoldás; kikötés: x≠0, mivel akkor 0-val kellene osztani, ami nem lehet.

Szorozzuk mindkét oldalt x-szel:

3x^2-4-x=0, vagyis 3x^2-x-4=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldjuk (a=3, b(-1, c=-4):

x1;2=(-(-1)±√((-1)^2-4*3*(-4))/(2*3)=(1±√(1+48))/6

x1=(1+√(49))/6=(1+7)/6=8/6=4/3

x2=(1-√(49))/6=(1-7)/6=-6/6=-1.

2. Feltesszük, hogy a torony derékszöge zár be a földel (nem úgy, mint például a pisai ferde torony). Ekkor egy derékszögű háromszöget kapunk, ahol a befogók hossza 100 m és 828 m, és a 828-es oldallal szemközti szög a kérdés, legyen ez Ł. A szögfüggvények definíciója szerint a szög kiszámolható a két befogó hányadosával, ekkor tg(Ł)-t kapunk:

tg(Ł)=828/100=8,28, számológépbe beütjük (ügyeljünk arra, hogy DEG-ben legyen, és ne RAD-ban):

Ł=83,1136°-os szögben fog látszani.

3. Az első nem igaz, például x=-1 re 1=-1-et kapunk, tehát az állítás nem igaz tetszőleges x-re. Helyesen úgy lenne, hogy √(x^2)=|x|, gyakorlatilag ez a gyökvonás definíciója.

A másodiknál be kell írnunk x helyére a 3-at:

3^2-4*3+3=9-12+3=0, tehát ez igaz lesz.

A harmadiknál a két szám mértani közepét kell kiszámolni; összeszorozzuk őket, majd (mivel 2 tagot szoroztunk) 2.gyököt, azaz négyzetgyököt vonunk:

√(20*6)=√(120)=~10,95, ez pedig nem 13, tehát hamis.

4. Ha egy háromszög oldalait nagyítjuk, akkor minden oldalát ugyanazzal a pozitív valós számmal szorozzuk (ekkor arányos marad az eredeti háromszöggel, lásd. síkidomok arányossága). Ezt a számot λ-val (görög betű: lambda) szokás jelölni, és arányossági tényezőnek hívjuk.

Tehát az új háromszög oldalai: 3λ, 4λ, 5λ, így kerülete 3λ+4λ+5λ=12λ, ez pedig egyenlő a megadott kerülettel, 33,6 cm-rel:

12λ=33,6 /:12

λ=2,8, tehát az oldalak:

2,8*3=8,4 cm

2,8*4=11,2 cm

2,8*5=14 cm

Ha egy háromszöget λ-szorosára változtatunk, akkor a területe λ^2-szeresére nő, esetünkben 2,8^2=7,84-szeresére.

5. Az első helyre 15-féle gombóc kerülhet, a másodikra 14, a harmadikra 13, ezeket szorozzuk, így 15*14*13=2730-féleképpen vehet fagyit.

Az első helyre 15-féle mehet, a másodikra is, a harmadikra is, így 15*15*15=3375-féleképpen rendelhet magának fagyit.

6. A rombusz minden oldala ugyanolyan hosszú, legyen 1 oldala a, ekkor a kerülete 4a, ami 40 cm-rel egyenlő:

4a=40

a=10, tehát a oldalak hossza 10 cm.

A rombusz területe az a*a*sin(Ł) képlettel is megadható;

10*10*sin(Ł)=80

100*sin(Ł)=80

sin(Ł)=0,8;

I. negyedben Ł=53,13°

II. negyedben Ł=126,87°.

Mivel a rombusz felbontható vagy kér hegyesszögű, vagy két tompaszögű háromszögre, ezért mindkét megoldás jó lesz.

Észrevehető, hogy ha az egyik szög 53,13°, akkor a másik 126,87°, és fordítva, tehát mindkét megoldás ugyanaz, tehát a rombusz tompaszöge 126,87°.

Az átlók hossza a koszinusztétellel kiszámolható (e és f):

e^2=10^2+10^2-2*10*10*cos(53,13°)

e^2=100+100-120

e^2=80

e=√80=~8,944 cm.

f^2=10^2+10^2-2*10*10*cos(126,87°)

f^2=100+100+120

f^2=320

f=√320=17,89 cm.

7a) Osszunk -1-gyel, ekkor megfordul a reláció:

x^2-12x+27<0

Számoljuk ki a bal oldalon lévő másodfokú kifejezés gyökeit, vagyis az a kérdés, hogy mikor lesz 0 az értéke. Megoldóképlettel (a=1, b=-12, c=27): x1=9, x2=3, ezek alapján felírható szorzatalakban:

(x-3)*(x-9)<0

A bal oldalon egy szorzat van, és egy szorzat értéke csak akkor kisebb 0, ha negatív, és csak akkor negatív, ha páratlan darab negatív van benne. Ebben az esetben vagy az egyik, vagy a másik tag lesz pozitív:

1. eset: x-3>0, vagyis x>3 ÉS x-9<0, vagyis x<9. Ezeknek egyszerre kell teljesülni, vagyis ha 3<x<9, akkor igaz lesz az állítás.

2. eset: x-3<0, vagyis x<3 ÉS x-9>0, vagyis x>9. Ez a kettő nem fog sose teljesülni egyszerre (nincs olyan szám, ami kisebb lenne 3-nál, de nagyobb 9-nél, mivel 3<9).

b) Az első helyre 5 számjegy kerülhet, a másodikra 4, és így tovább, tehát 5*4*3*2*1=5!=120 szám képezhető.

c) "Ragasszuk össze" a prímszámokat, ekkor 4 dolgot kell permutálnunk; az első helyre 4 mehet, a másodikra 3, a harmadikra 2, a negyedikre 1, így 4*3*2*1=24 számot számoltunk össze. Ehhez még hozzájön az, hogy a prímszámokat milyen sorrendben ragasztjuk össze; ezt 2*1=2-féleképpen tehetjük meg, ezzel szorozzuk az előzőt; 120*2=240 szám képezhető.

8. Vegyen x palántát y egységáron, ekkor 4000-et fizetett;

I. x*y=4000

Ha (y-90)-es egységáron vett volna virágot, akkor (x+9) virágot tudott volna venni ugyanúgy 4000 forintért:

II. (x+9)(y-90)=4000

Ez egy egyenletrendszer. Az I. egyenletből y=4000/x, így a II. egyenlet:

(x+9)(4000/x-90)=4000

4000-90x+36000/x-810=4000

-90x+36000/x-810=0

-90x^2+36000-810x=0 /:(-90Ö

x^2+9x-400=0

Megoldóképlettel (a=1, b=9, c=-400): x1=16 és x2=-25, de -25 muskátlit nem tud venni, így csak az x=16 lesz a jó megoldás.

Tehát 16 virágot vett; hogy 1 mennyibe kerül, azt úgy kapjuk meg, hogy visszahelyettesítünk az első egyenletbe:

16*y=4000

y=250, tehát 250 Ft-ba kerül 1.