Két szabályos háromszög egy-egy oldalhosszának összege 20 cm. Számítsuk ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha terülteteik arány 1:16?

Ha jól értem, akkor az egyik háromszög oldalának hossza x, a másiké y, ekkor x+y=20. Ha így van, akkor legyen az egyik háromszög oldala x, ekkor a másik oldala 20-x; mivel az előbb azt írtuk, hogy ha a másiké y, akkor x+y=20, ezt y-ra rendezve y=20-x-et kapunk, tehát a másik oldal hossza 20-x lesz.

Tetszőleges a oldalú szabályos háromszög területe a*a*√3/4, esetünkben az x oldalú háromszög területe x*x*√3/4, a másiké (20-x)*(20-x)*√3/4=(400-40*x+x*x)*√3/4.

Területeik aránya 1:16, ez azt jelenti, hogy az egyik (mondjuk az x oldalú) háromszög területének 16-szorosa lesz a másik háromszög területe. Ezt írjuk is le a matematika nyelvén:

16*(x*x*√3/4)=(400-40*x+x*x)*√3/4, vagyis (elhagyva a bal oldalon a zárójeleket, mivel ott csak szorzás van):

16*x*x*√3/4=(400-40*x+x*x)*√3/4 /*4; :√3

16*x*x=400-40*x+x*x /-16*x*x

0=-15*x*x-40*x+400 /:(-5)

0=3*x*x+8*x-80

Ez egy másodfokú egyenlet, amit a megoldóképlettel meg tudunk oldani; x1=4, x2=-20/3, utóbbi viszont nem lehet, mivel egy háromszög oldalhossza csak pozitív szám lehet, tehát x=4 esetén, vagyis ha az egyik 4 oldalhosszúságú háromszög, a másik 16, lesz a háromszögek területeinek aránya 1:16. Ellenőrizzük is le:

x=4: 4*4*√3/4=4*√3 a terület

(20-x)=16: 16*16*√3/4=64*√3 a terület, ezek arányai

(4*√3):(64*√3), ezeket egyszerűsítve 1:16-hoz jutunk, tehát jól számoltunk.

Az előbb azt néztük, hogy az x oldalhosszú háromszög területe a kisebb. Most legyen az x-20-asé, ekkor ennek a területét szorozzuk 16-tal:

x*x*√3/4=16*(400-40*x+x*x)*√3/4, vagyis

x*x*√3/4=4*(400-40*x+x*x)*√3 /:√3

x*x/4=4(400-40*x+x*x) /*4

x*x=16(400-40*x+x*x) /zárójelbontás

x*x=6400-640*x+16*x*x /-x-x

0=15*x*x-640*x+6400

Ez is egy másodfokú egyenlet, amit meg tudunk oldani a megoldóképlettel; x1=16, x2=80/3. A 80/3 nem lesz jó megoldás, mivel akkor az egyik háromszög oldala -20/3 lenne, az pedig nem lehet, így x=16 lesz a megoldás. Ezzel megkaptuk a 16 és 4 oldalhosszú háromszögeket, amiket már egyszer kiszámoltunk.

Tehát a két háromszögünk oldalhossza 4 és 16 egység.

Másik megközelítés: területeik aránya 1:16. Tanultuk, hogy ha két alakzat között az oldalak hasonlóság aránya λ, akkor területeik között a hasonlóság λ*λ, esetünkben ez 1/16-dal egyenlő:

λ*λ=1/16, így λ=1/4, vagyis az oldalak hasonlósági arány 1/4. Ha az egyik oldal x, a másik 20-x, akkor igaz, hogy

x/(20-x)=1/4 /*(x-20; *4

4x=20-x /+x

5x=20 /:5

x=4, tehát az egyik háromszög oldala 4, a másiké 16 lesz. Ha fordítva írjuk fel;

(20-x)/x=1/4 /*x; *4

80-4x=x /+4x

80=5x /:5

16=x, tehát az egyik oldal 16, a másik 4 egység oldalhosszú lesz, ezzel megint megkaptuk ugyanazokat a háromszögeket. Az előbb leírtak alapján ellenőrizhetőek a számítások; Pitagorasz-tétele szerint a 4 oldalhosszú háromszög magassága √12, így a területe 4*√12/2=2*√12, a 16-osnak a magassága √192, így a területe 16*√192. Ezeket elosztva, vagy számológéppel, vagy a gyökjel alól kihozva 16-ot, illetve 1/16-ot kapunk, amit kapnunk is kellett.