Hogyan kell megoldani az alábbi rövid kódolási feladatokat?

00 → 00000

01 → 01110

10 → 10101

11 → 11011

Vagyis 2 bites bemenethez 5 bites kimenetet generálunk.

a) 01110 és 10101 távolsága?

Hamming távolság

Egyszerűen meg kell számolni, hogy hány helyen más a bitek értéke. Úgy a legegyszerűbb, ha egymás alá írod a kettőt. Fentebb pont egymás alatt vannak a 2. és 3. sorban, gyorsan látszik, hogy 4 bitben térnek el egymástól.

Elméletileg úgy kell csinálni, hogy 01110 ⊕ 10101 = 11011 (ahol a ⊕ a kizáró vagy műveletet (xor) akarja jelölni), aztán meg kell számolni, hogy hány 1-es van az xor eredményben.

b) kódtávolság?

Mindegyik két kódszó között ki kell számolni a Hamming távolságot, és ami azok közül a legkisebb, az lesz a teljes kód távolsága.

c) csoportkód?

ℤ₂⁵ egyszerűen azt jelenti, hogy 5 darab ℤ₂-beli szám a kód. ℤ₂ pedig a 2-es maradékosztályt jelenti, vagyis hogy modulo 2 aritmetikát használunk. Ami nem matekos nyelven csupán azt jelenti, hogy 0 és 1 a lehetséges számértékek, és az összeadást a ⊕ xor művelet helyettesíti. Szóval ℤ₂⁵ köznapi nyelven azt jelenti, hogy 5 darab bit.

A csoport azt jelenti, hogy a művelet (vagyis a ⊕) nem visz ki a csoportból. Vagyis ha X és Y bármelyik két kódszó a négy közül, akkor X⊕Y is kódszó.

Mivel ennek X⊕X esetén is teljesülnie kell, ezért tuti, hogy a 00000-nak benne kell lennie a kódszavak között. Ott van, ez eddig rendben. Ez az első lépés a "mutassuk meg"-ben:

- A nulla elem része a kódnak, OK.

- Aztán 01 és 10 kódjait xor-oljuk: 01110 ⊕ 10101 = 11011, ez éppen a harmadik kód, bent maradtunk a csoportban.

Az xor tulajdonságai miatt most (amikor csak 4 kódszó van) többet nem is kell megnézni, kész, beláttuk, hogy csoportkód.

d) 11011 súlya?

Egy kódszó súlya egyszerűen az 1-es bitjeinek a száma. Vagyis most 4.

e) kód súlya?

A nullától eltekintve mindegyik kódszónak meg kell számolni a súlyát, és azokból a legkisebb.

f) 00000-hoz legfeljebb 1 távolságra?

Itt is a Hamming távolságot jelenti a távolság. Vagyis, hogy hány bitben különböznek.

A halmaz:

{00000, 10000, 01000, 00100, 00010, 00001}

A 00000 azért van benne, mert a "legfeljebb 1"-be a 0 távolság is beleértendő.

Ezek nem kellettek kódszavak legyenek, csak ℤ₂⁵-öt mondott a feladat, vagyis 5 bites számokat.

g) 01000 dekódolása?

Vagyis ha a zajos csatornából ez jött ki, akkor mi lehetett az a kódszó, ami bement a csatornába, és mi volt annak az eredeti kódja? Minimális távolságú dekódolásnál azt vesszük valószínűbb esetnek, ahol kevesebb bithiba volt.

Meg kell keresni, melyik kódszó van ehhez a legközelebb. Írjunk fel egy táblázatot a Hamming távolságokkal:

00000 : 1

Mivel 1-nél kevesebb tuti nem lehet, kár tovább csinálni a táblázatot, de azért felírom:

01110 : 2

10101 : 4

11011 : 3

1 a legkisebb távolság, tehát az a valószínű, hogy 00000 ment be a csatornába, ami pedig a 00-nak a kódja. Tehát 00-ra dekódoljuk.