Hogyan adjunk meg ℤ[√ (-5) ]-ben olyan elemet, amelynek nincs egyértelmű irreducibilis faktorizációja?

ℤ(√-5) ugye azt jelenti, hogy a+b√-5, ahol a,b∈ℤ

Valahonnét "megsejtjük", hogy a megoldás mondjuk ez:

6 = 2·3 = (1 + √-5)(1 − √-5)

vagyis kétféleképpen is tudtuk faktorizálni a 6-ot. (De lehetne az is, hogy 9 = 3·3 = (2 + √-5)(2 − √-5), stb. )

Már csak be kellene látni, hogy a 2, 3, (1+√-5) és (1−√-5) irreducibilisek.

Nézzük az (1+√-5)-öt (a többi ugyanígy megy):

Legyen a norma ez: N(a+b√-5) = a²+5b²

Erre teljesül, hogy N(x) ∈ ℕ₀, N(xy) = N(x)N(y) és N(x) = 1 csak akkor, ha x=±1

Számoljuk ki a vizsgált szám normáját:

N(1+√-5) = 6

Ha fel lehetne bontani (1+√-5)-öt szorzattá, mondjuk x·y, úgy, hogy egyik sem ±1, akkor N(x)·N(y) = 6 lenne a norma fenti tulajdonsága miatt. Ami csak akkor lehet, ha N(x)=2 és N(y)=3, mert ez a 6 törzstényezős felbontása.

Tegyük fel, hogy x=c+d√-5

N(x) = c²+5d² = 2 kell legyen.

Ilyen c,d ∈ ℤ pedig nincs, ez gyorsan belátható. Tehát 1+√-5 irreducibilis.