Mikor osztható egy polinom a saját deriváltjával?

Legyen p(x) egy n-edfokú polinom. Deriváltja n-1-edfokú.

Ha p(x) osztható p'(x)-szel, akkor a hányados biztos, hogy elsőfokú, aminek az általános alakja (x-a)/b :

p(x) / p'(x) = (x-a)/b

p'(x) / p(x) = b/(x-a)

A bal oldal log(p(x))-nek a deriváltja, integráljuk vissza:

log p(x) = b·log(x-a) + C

p(x) = K·(x-a)^b

Mivel n-edfokú, ezért b=n kell legyen.

Szóval pontosan a K·(x-a)ⁿ alakú polinomok oszthatóak a saját deriváltjukkal.