Rekurzív sorozat?

A wikipedia eléggé bemegy a részletekbe, ne azzal kezdd.

Egyébként meg valószínű összekeversz dolgokat, annak a két a(n)-nek semmi köze egymáshoz.

>> Első taggal kifejezve definíciója a(n) = a(1) + (n + 1) * d

Ez explicit megadása egy sorozatnak, nem rekurzív. Fel lehet írni rekurzívan is, de inkább ne tegyük, mert bonyolult lenne, és csak azért bonyolult, mert valószínű elírtad. Valószínű ez lett volna az igazi sorozat explicit módon megadva:

a(n) = a(1) + (n − 1)·d

Ezt a sorozatot könnyen fel lehet írni rekurzívan is:

a(n) = a(n-1) + d

Ha pl. a(1) = 0, akkor az explicit megadással számolva az elemeket:

a(2) = a(1) + (n-1)·d = 0 + (2-1)·d = d

a(3) = 0+(3-1)·d = 2d

a(4) = 0+(4-1)·d = 3d

stb.

Ugyanez a rekurzív megadással:

a(2) = a(n-1) + d = a(2-1)+d = a(1)+d = d

a(3) = a(3-1)+d = a(2)+d = 2d

a(4) = a(4-1)+d = a(3)+d = 3d

stb.

Ugyanaz jött ki.

>> Például a sorozat első eleme 5, a második tagtól kezdve a(n)= [a(n)-1]/n

Ezt is elírhattad: a(n)= a(n-1)/n

Ez egy teljesen más sorozat, semmi köze az előzőhöz. Rekurzívan van megadva, hisz az n-edik elemet az előző elem alapján szamolja ki.

Ha a(1)=5, akkor:

a(2) = a(1)/2 = 5/2

a(3) = a(2)/3 = 5/6

a(4) = a(3)/4 = 5/24

stb.

Ebből már látszik, hogy fel lehet írni ezt a sorozatot explicit módon is. Úgy szokták mondani, hogy meg lehet adni zárt alakban is:

a(n) = 5/n!