Ezt hogyan kell megoldani (trigonometria)?

Én jobb szeretem inkább a szinuszt koszinusszá alakítani, mert akkor cos α = cos β megoldása egyszerű: α=β és α=-β. De csináljuk úgy, ahogy te:

cos(α) ugyanannyi, mint sin(α+π/2), vagyis:

cos(x-π/4) = sin(x-π/4 + π/2) = sin(x+π/4)

szóval itt tartunk:

sin(x+π/4) = sin(2x)

sin α = sin β két megoldása:

a) α = β + 2kπ

b) α = π-β + 2kπ

(ez a két k persze nem feltétlenül ugyanaz, mindkettő k∈ℕ. Lehetne más betűvel is jelölni őket, de én jobb szeretem k-nak jelölni mindkettőt.)

Most: α=(x+π/4), β=(2x)

a) α = β + 2kπ

(x+π/4) = (2x) + 2kπ

π/4 - 2kπ = x

Mivel k lehet pozitív is és negatív is, nevezhetjük a negáltját is k-nak:

x = π/4 + 2kπ

(persze ez a k nem ugyanaz, mint a 2 sorral feljebbi, nevezhetnénk más betűnek is, de olyan jó az a k betű, és úgyis csak azt jelenti, hogy bármilyen egész szám, akár pozitív, akár negatív.)

b) α = π-β + 2kπ

(x+π/4) = π-(2x) + 2kπ

3x+π/4 = π + 2kπ

3x = 3π/4 + 2kπ

amikor 3-mal osztunk, nem szabad elfelejteni a 2kπ-t is osztani 3-mal:

x = π/4 + 2kπ/3

Ez a két megoldás-sorozat van. De ha jobban belegondolunk:

- mindkét sorozat π/4-gyel indul

- 2kπ a 2π többszöröse

- 2kπ/3 az a 2/3 π többszöröse

- és 2/3 π minden harmadik többszöröse 2π többszöröse lesz

Vagyis a második megoldás lefedi az elsőt is.

Szóval egyetlen megoldás-sorozat van:

x = π/4 + 2kπ/3

Ha ez nem esik le kapásból, akkor érdemes mégiscsak k helyett két különböző betűvel jelölni a kétféle egészet:

x₁ = π/4 + n·2π

x₂ = π/4 + k·2π/3

Amikor k=3m (3 többszöröse), akkor:

x₂ = π/4 + 3m·2π/3 = π/4 + m·2π

vagyis ez ugyanaz, mint x₁ (n=m jelöléssel)

cos α = cos β megoldásai:

a) α = β + 2kπ

b) α = -β + 2kπ