Igen jó fizikások! Hogyan kell ezt megcsinálni?

Jó szívatós számolós feladat...

Ütközés előtti sebesség:

m·g·l = 1/2·m·v²

v = √(2gl)

Ugyanez jön ki a nagyobbik testre is:

M·g·l = 1/2·M·v²

hisz M kiesik.

Mondjuk M van a bal oldalon, és a balról jobbra haladó irányt tekintjük pozitívnak. (m sebessége negatív)

Összes impulzus ütközés előtt: M·v + m·(-v)

Összenergia ütközés előtt: 1/2·M·v² + 1/2·m·v²

Ütközés után is az összes impulzusnak (M-m)·v-nek kell lennie, az összenergia pedig 1/2·(M+m)·v²

Ütközés után M sebessége v₁, m-é pedig v₂. Ezek lehetnek ellenkező irányúak is, de azonosak is.

M·v₁ + m·v₂ = (M-m)·v

1/2·M·v₁² + 1/2·m·v₂² = 1/2·(M+m)·v²

Ebben csak a v₁ és v₂ az ismeretlen (v ismert), úgyhogy a két egyenletből v₁ és v₂ is kijön.

Az első egyenletből:

v₁ = ((M-m)v - mv₂)/M

Ezt behelyettesítjük a második egyenletbe:

((M-m)v - mv₂)²/M + mv₂² = (M+m)·v²

(M-m)²v² - 2m(M-m)vv₂ + m²v₂² + Mmv₂² = M(M+m)v²

rendezzük át úgy, hogy jobban látszódjon, hogy v₂-re másodfokú ez az egyenlet:

(m²+Mm)·v₂² - 2m(M-m)v·v₂ + ((M-m)²-M(M+m))v² = 0

(m²+Mm)·v₂² - 2m(M-m)v·v₂ + (m²-3Mm)v² = 0

(M+m)·v₂² - 2(M-m)v·v₂ + (m-3M)v² = 0

v₂ = ( 2(M-m)v ± √(4v²(M-m)² - 4v²(M+m)(m-3M)) ) / (2(M+m))

v₂ = v·( (M-m) ± √((M-m)² - (M+m)(m-3M)) ) / (M+m)

v₂ = v·( (M-m) ± √(M²-2Mm+m² - Mm+3M²-m²+3Mm ) / (M+m)

v₂ = v·( (M-m) ± √(4M²) / (M+m)

v₂ = -v   vagy   v₂ = v·(3M-m) / (M+m)

A v₂=-v megoldás az ütközés előtti állapot, amit mi keresünk, az a másik.

v₂ = v·(3M-m)/(M+m)

v₁ pedig:

v₁ = ((M-m)v - mv·(3M-m)/(M+m))/M

v₁ = v·((M²-m²) - m(3M-m)) / (M(M+m))

v₁ = v·(M²-m² + m²-3Mm) / (M(M+m))

v₁ = v·(M-3m)/(M+m)

Ha M>3m, akkor v₁>0, vagyis a nagy M nem pattan vissza.

a)

Az m energiája: 1/2·m·v₂² = m·g·h, ha h magasságig jut el. 2-szeres fonálhossznál több nem lehet:

1/2·m·v₂² = m·g·2·l

v²(3M-m)²/(M+m)² = 4g·l

Ne felejtsük el, hogy v ismert: v = √(2gl)

2gl(3M-m)²/(M+m)² = 4gl

(3M-m)² = 2(M+m)²

9M² - 6Mm + m² = 2M² + 4Mm + 2m²

7M² - 10Mm - m² = 0

Osszunk m²-tel

7(M/m)² - 10·M/m - 1 = 0

Ez M/m-ben másodfokú, a megoldás:

M/m = (10 ± √(100 + 28))/14

M/m = (10 ± 8√2)/14

Csak a pozitív megoldás érvényes:

M/m = (5 + 4√2)/7 = 1,522

Hmm, nem 1,82 jött ki...

... Persze, hogy nem jött ki, rosszul csináltam. Késő volt már...

Ahhoz, hogy felmenjen a felső pontig a körpályán és még legfent is a pályán maradjon, fent is megfelelő végsebessége kell legyen: a centripetális erőnek meg kell egyeznie a nehézségi erővel, vagyis a centripetális gyorsulásnak (v²/r) a nehézségi gyorsulással (g):

v₃²/l = g

v₃ = √(g·l)

Az ehhez szükséges plusz energia: 1/2·m·v₃² = 1/2·m·(g·l)

Az helyzeti és mozgási energia összesen: m·g·2l + 1/2·m·g·l = 2,5·mgl

Vagyis az ütközés utáni sebességre ez igaz:

1/2·m·v₂² = 2,5·mgl

v₂ = √(5gl)

v²(3M-m)²/(M+m)² = 5g·l

és ezt ugyanúgy megoldhatjuk, mint az előbb.

Vagy egyszerűbb, ha eleve bevezetünk M/m-re egy új ismeretlent:

p = M/m

v²(3p-1)²/(p+1)² = 5g·l

2gl·(3p-1)²/(p+1)² = 5gl

(3p-1)² = (p+1)²·5/2

3p-1 = (p+1)·√|(5/2)

p(3-√(5/2)) = 1+√(5/2)

p = (1+√(5/2)) / (3-√(5/2))

p = 1,8192

Tényleg kijött.

b)

Ez már sima ügy, ugye... Csak a teljesség kedvéért...

v₁ = v·(M-3m)/(M+m)

v₁ = v·(p-3)/(p+1)

Ez negatív, vagyis ilyenkor visszapattan az M test, de ez nem igazán számít...

1/2·M·v₁² = 1/2·M·v²·((p-3)/(p+1))²

= M·gl·((p-3)/(p+1))²

h magasságra emelkedik:

M·g·h = M·gl·((p-3)/(p+1))²

h = l·((p-3)/(p+1))²

h = l·0,175