Mi a megoldás (kezd kiakasztani az oldal, már egy kérdést nem lehet kiírni fél óra . Kodással)?

A #2 kiegészítéssel már értem.

Odáig OK, hogy cos α = m₁/m₂ = 0,5

Vagyis 60°-os zsineg-állásig lesz lefelé ható erő a G₁-ből, utána már a G₂ illetve T felfelé menő komponense nagyobb. A legnagyobb sebesség pont ekkor, α=60°-nál lesz, hisz eddig az egyre csökkenő lefelé ható erő folyamatosan gyorsította. 60°-nál már nem gyorsul tovább, utána meg elkezd lassulni.

a) 60°-nál:

m₁ h₁-et süllyed

m₂ h₂-t emelkedik

h₁/d = ctg 60° = 1/√3

h₁ = 20/√3

h₂-vel lett hosszabb a 60°-os háromszög átfogója (a ferde zsinór hossza):

h₁/(d+h₂) = cos 60° = 1/2

h₂ = 2h₁ - d

h₂ = 40/√3 - 20 = ...

A sebességek viszonya:

Ebben a 60°-os pontban ha egy kis Δh-val süllyed m₁, akkor ΔH = 2·Δh-val emelkedik m₂, hisz

h₂ = 2h₁ - d

h₂+ΔH = 2(h₁+Δh) - d = 2h₁-d + 2Δh = h₂+2Δh

vagyis v₂ = 2·v₁

(nem írtad, hányadikos vagy, nem akartam deriválni, inkább deltáztam...)

Az energiaviszonyok:

Az m₁ tömeg süllyedése fedezi a mozgási energiákat meg m₂ emelkedését is:

m₁·g·h₁ = 1/2·m₁·v₁² + 1/2·m₂·v₂² + m₂·g·h₂

Ebből v₁ kijön.

b) Maximális távolságok:

m₁ H₁-et süllyed

m₂ H₂-t emelkedik

Amikor m₁ leglentebb van, akkor már megáll minden, nem mozog tovább. Csak helyzeti energiák vannak:

m₁·g·H₁ = m₂·g·H₂

1·H₁ = 2·H₂

A ferde zsineg hossza d+H₂. Pitagorasz a háromszögre:

H₁² + d² = (d + H₂)²

H₁² + d² = (d + H₁/2)²

... ebből kijön H₁

"Ebben a 60°-os pontban ha egy kis Δh-val süllyed m₁, akkor ΔH = 2·Δh-val emelkedik m₂, hisz"

Ez pont fordítva van, 1/2·Δh

Teljesen igazad van, tényleg Δh/2.

Ami azt jelenti, hogy v₂ = v₁/2

Deriválással nekem is kijön a felezés, de szánom-bánom, ha nem deriválással akarom levezetni, mindig a fenti rossz gondolatmenetre jutok, nem tud az agyam attól eltérni... Vezesse már le valaki rendesen elemi lépésekkel!

60°-nál ΔH számolása:

A ferde zsineg hossza c:

(h₁+Δh)² + d² = c²

Tudjuk, hogy d/h₁ = tg 60° = √3

(h₁+Δh)² + 3h₁² = c²

4h₁² + 2·h₁·Δh + Δh² = c²

Vedd észre, hogy

(2h₁ + Δh/2)² = 4h₁² +2·h₁·Δh + Δh²/4

vagyis

(2h₁ + Δh/2)² + Δh²·3/4 = c²

Mivel Δh nagyon pici, ezért Δh²·3/4 elhanyagolható a többihez képest:

(2h₁ + Δh/2)² ≈ c²

c ≈ 2h₁ + Δh/2

Mivel 60°-nál c = 2h₁ + ΔH

ΔH = Δh/2