Hogyan oldhato meg az alabbi elgondolkoztato matek feladat?

Egyrészt kikötések: a≠0, b≠0, c≠0

Három egyenletet lehet csinálni:

(a+b)/c = (b+c)/a

(a+b)/c = (a+c)/b

(b+c)/a = (a+c)/b     (ez a harmadik már kijön a másik kettőből is, de a végén kellhet majd)

Átalakítgatások:

szorzunk ac-vel, bc-vel illetve ab-vel, amik nem nullák:

a² + ab = bc + c²

ab + b² = ac + c²

b² + bc = a² + ac

---

b(a-c) = c²-a² = (c-a)(c+a)

a(b-c) = c²-b² = (c-b)(c+b)

c(b-a) = a²-b² = (a-b)(a+b)

a)

Egyrészt megoldás az, ha a=c, b=c és b=a, szóval a=b=c

De mivel meg volt adva, hogy különbözőek, ez nem megoldás.

b)

Ha nem egyformák, akkor oszthatunk velük:

b = -(c+a)

a = -(c+b)

c = -(a+b)

---

a = -b-c    és ezt behelyettesítve a másik 2 egyenletbe:

b = -(c-b-c) = b azonosság jön ki.

c = -(-b-c+b) = c azonosság jön ki.

Vagyis a másik megoldás: a = -b-c

(de a≠c és b≠c és a≠b)

Itt meg is állhatnánk. Ha nincs kedved, ne olvasd tovább.

c)

Ez az eset nincs, mert a,b,c a kiírás szerint különbözőek, de azért ideírom:

Ha a=c, de b≠c, akkor csak kettővel egyszerűsíthetünk:

b·0 = 0·(c+a) ez OK

a = -(c+b) = -a-b

c = -(a+b) ez ugyanazt adja

Vagyis a = c = -b/2 is megoldás lenne (de nincs megengedve)

d)

Ez az eset sincs, mert a,b,c a kiírás szerint különbözőek, de azért ideírom:

Ha b=c, de a≠c, akkor csak kettővel egyszerűsíthetünk:

b = -(c+a) = -(b+a)

a·0 = 0·(c+b) ez OK

c = -(a+b) ez ugyanazt adja, mint az első

Vagyis b = c = -a/2 is megoldás lenne (de nincs megengedve)

e)

Ez az eset sincs, mert a,b,c a kiírás szerint különbözőek, de azért ideírom:

Ha a=b, de c≠a, akkor csak kettővel egyszerűsíthetünk:

b = -(c+a) = -c-b

a = -(c+b) = -c-b ez ugyanazt adja, mint az első

c·0 = 0·(a+b) ez OK

Vagyis a = b = -c/2 is megoldás lenne (de nincs megengedve)

(Persze a kikötések korlátjával, szóval semmi sem 0)

Ha az elején a harmadik egyenletet nem írtuk volna fel, ez az e) eset nem jött volna ki.

Az előző válaszoló a) előtti állapotából kiindulva

b(a-c) = c²-a² = (c-a)(c+a)

a(b-c) = c²-b² = (c-b)(c+b)

c(b-a) = a²-b² = (a-b)(a+b)

b(a-c) = (c-a)(c+a)

a(b-c) = (c-b)(c+b)

c(b-a) = (a-b)(a+b)

A bal oldalt (-1)-el szorozva

-b(c - a) = (c - a)(c + a)

-a(c - b) = (c - b)(c + b)

-c(a - b) = (a - b)(a + b)

Nullára rendezve

0 = (c - a)(c + a) + b(c - a)

0 = (c - b)(c + b) + a(c - b)

0 = (a - b)(a + b) + c(a - b)

Kiemelés után

0 = (c - a)(a + b + c)

0 = (c - b)(a + b + c)

0 = (a - b)(a + b + c)

Mivel a számok különbözők, csak az

a + b + c = 0

lehet a megoldás.